Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{4b}{c+a-b}+\dfrac{9c}{a+b-c}\)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Kí hiệu a, b, c, là độ dài ba cạnh của tam giác.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(S=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
Gíup mình với mọi người !!!!!
Cho a, b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{2b^2+2a^2-c^2}}\).
Ta có:
\(\left(2a^2-b^2-c^2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^4+b^4+c^4-4a^2b^2-4a^2c^2+2b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge6a^2b^2+6a^2c^2-3a^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}a}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\sqrt{3}\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\) ; \(\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng vế: \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)
\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c\)
cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 .Kí hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác .tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a/b+c-a + 4d/c+a-b +9c/a+b-c
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=2x\\c+a-b=2y\\a+b-c=2z\end{matrix}\right.\)\(\forall x,y,z>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(S=\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{4\left(x+z\right)}{2y}+\dfrac{9\left(x+y\right)}{2z}\)
\(\Rightarrow2S=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{4\left(x+z\right)}{y}+\dfrac{9\left(x+y\right)}{z}\)
\(=\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{4x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{9x}{z}\right)+\left(\dfrac{4z}{y}+\dfrac{9y}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2S\ge2\sqrt{\dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{4x}{y}}+2\sqrt{\dfrac{z}{x}\cdot\dfrac{9x}{z}}+2\sqrt{\dfrac{4z}{y}+\dfrac{9y}{z}}\)
\(\Leftrightarrow2S\ge2\sqrt{4}+2\sqrt{9}+2\sqrt{36}\)
\(\Leftrightarrow2S\ge4+6+12=22\Leftrightarrow S\ge11\)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2, kí hiệu a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
Tìm Min A=\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}\)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Kí hiệu a;b;c là độ dài 3 cạnh tam giác.
Tính \(MinS=\frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}\)
Đặt b+c-a=x
c+a-b=y (x,y,z>0)
a+b-c=z
rồi rút a,b,c theo x,y,z.
AD Svacso
Đặt: x = b + c - a
y = c + a - b
z = a + b - c
=> x + y + z = a + b + c = 2
=> \(a=\frac{y+z}{2}\); \(b=\frac{x+z}{2}\); \(c=\frac{x+y}{2}\)
=> \(S=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x}+\frac{4z+4x}{y}+\frac{9x+9y}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{2-x}{x}+\frac{8-4y}{y}+\frac{18-9z}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}-7\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}-7=11\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}=\frac{1+2+3}{x+y+z}=3\)
=> x = 1/3; y = 2/3; z = 1
=> a = 5/6; b = 2/3; c = 1/2
Vậy min S = 11 đạt tại a = 5/6; b = 2/3 ; c = 1/2
Cách em ko khác cô Chi. Nhưng đỡ phải đặt ạ
\(\frac{a}{b+c-a\:}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}+14\)
\(=\frac{B+C}{A}+\frac{4\left(C+A\right)}{B}+\frac{9\left(A+B\right)}{C}\)
\(\frac{2-A}{A}+\frac{8-4B}{B}+\frac{18-9C}{C}\)
\(=2\left(\frac{1}{A}+\frac{4}{B}+\frac{9}{C}\right)-14\)
\(\ge2.\frac{36}{A+B+C}-14=22̸\)
Em thấy mik nhqàm đâu đó ạ
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2
a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác
tìm min \(S=\frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}\)
............................
.........................???????/
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}<
\dfrac{a+b+c}{abc}\)
( bên trên là nhỏ hơn hoặc bằng )
Hãy tính số đo các góc của tam giác này
`1/a^2+1/b^2+1/c^2<=(a+b+c)/(abc)`
`<=>1/a^2+1/b^2+1/c^2<=1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)`
`<=>2/a^2+2/b^2+2/c^2<=2/(ab)+2/(bc)+2/(ca)`
`<=>1/a^2-2/(ab)+1/b^2+1/b^2-2/(bc)+1/c^2+1/c^2-2/(ac)+1/a^2<=0`
`<=>(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2<=0`
Mà `(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2>=0`
`=>(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2=0`
`<=>1/a=1/b=1/c`
`<=>a=b=c`
`=>` tam giác này là tam giác đều
`=>hata=hatb=hatc=60^o`
Áp dụng bđt cosi với hai số dương:
\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{2}{ab}\) ; \(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{2}{bc}\) ; \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{2}{ac}\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\) (*)
Theo giả thiết có: \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\le\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}\) (2*)
Từ (*), (2*) ,dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
=> Tam giác chứa ba cạnh a,b,c thỏa mãn gt là tam giác đều
=> Số đo các góc là 60 độ
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = [a2(b+c) + b2(a+c)] / abc, trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông (c là độ dài cạnh huyền).
Cho tam giác có độ dài ba cạnh abc và chu vi là 2p hay tim giá trị lớn nhất của biểu thức: N= ((p-a)(p-b)(p-c))/abc
tui nghĩ là tính 8N rồi thay p tìn max 8N
lm như tui bảo nha,,, thay 2p vào
ta có \(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{a+b-c+a+c-b}{2}=a\)
lm tt rồi nhân 3 vế vào ta đc 8N <= 1
=> ........