Bài 1: 

+) Chứng minh tứ giác BFLK nội tiếp:

Ta thấy FAH và LAH  là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AH nên AFHL là tứ giác nội tiếp. Vậy thì \(\widehat{ALF}=\widehat{AHF}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF)

Lại có \(\widehat{AHF}=\widehat{FBK}\)   (Cùng phụ với góc \(\widehat{FAH}\)  )

Vậy nên   \(\widehat{ALF}=\widehat{FBK}\), suy ra tứ giác BFLK nội tiếp (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)

+) Chứng minh tứ giác CELK nội tiếp:

Hoàn toàn tương tự : Tứ giác AELH nội tiếp nên \(\widehat{ALE}=\widehat{AHE}\) , mà \(\widehat{AHE}=\widehat{ACD}\Rightarrow\widehat{ALE}=\widehat{ACD}\)

Suy ra tứ giác CELK nội tiếp.

Các bài còn lại em tách ra nhé.

Gọi I là giao điểm còn lại của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKF và đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK (Kí hiệu lần lượt là (BKF) và (CEK)).

Ta chứng minh được \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\Rightarrow AE.AC=AF.AB\)

\(\Delta AEH\sim\Delta ADC\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AE.AC=AH.AD\)

Vậy nên \(AE.AC=AF.AB=AH.AD\)

Từ đó suy ra A thuộc trục đẳng phương của  (BKF) và (CEK).

Vậy thì A, I, K thẳng hàng.

Từ đó, ta có: \(AI.AK=AH.AD\Rightarrow\widehat{HIK}=\widehat{ADK}=90^o\)

Lại có KM, KN  là các đường kính của (BKF) và (CEK) nên \(\widehat{MIK}=\widehat{NIK}=90^o\)

Vậy nên M, H, N thẳng hàng.

Cảm ơn cô nhiều ạ!

Ta thấy AFH, AEH và ALH là các tam giác vuông chung cạnh huyền AH nên A, F, H, L, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH. Vậy AFHL và AEHF là tứ giác nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{ALF}=\widehat{AHF}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF)

Lại có \(\widehat{AHF}=\widehat{FBD}\)   (Cùng phụ với góc \(\widehat{BAD}\)  )

Vậy nên \(\widehat{ALF}=\widehat{FBD}\)

Từ đó suy ra tứ giác BLFK nội tiếp (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)

Do tứ giác AEHF nội tiếp nên \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung FH)

Vậy nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)  (Cùng phụ với hai góc bên trên)

Vậy nên \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

Lại có \(\widehat{AFE}=\widehat{ALE}\)

Vậy nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ALE}\), suy ra CELK là tứ giác nội tiếp (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)

xét tứ giác BFHD có 

góc BFH + góc BDH = 180 

mà nó là 2 góc đối => nội tiếp => góc FDH = góc FBE 

chứng minh tương tự với tứ giác CEHD 

=> góc HDE = góc HCE 

Xét tứ giác BFEC có 

góc BFC = góc BEF = 90 

mà nó là 2 góc kề => tứ giác nội tiếp 

mà góc BEC = 1/2 sđ BC = 90 => SĐ BC = 180 => BC là đường kính mà I là trung điểm BC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC 

=> góc FIE = góc FBE + góc FCE 

=> Góc FIE = góc FDH+góc HDE => góc FIE = góc FDE

mà nó là 2 góc kề => nội tiếp 

=> điều phải cm

a: Xét tứ giác AEHF có

góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

=>ΔABK vuông tại B

=>BK//CH

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

=>ΔACK vuông tại C

=>CK//BH

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

=>BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của BC

b: góc HID+góc HKD=180 độ

=>HIDK nội tiếp

=>góc HIK=góc HDK

=>góc HIK=góc HCB

=>góc HIK=góc HEF

=>EF//IK