Cho biểu thức : M = 50 + 51 + 52 + 53 + ... + 52009. Chứng minh rằng : ( 4M +1 ).22010 là một số chính phương
Bài 1: a, Chứng minh: A=21+22+23+24+...+22010 chia hết cho 3 và 7
b, Chứng minh: B=31+32+33+34+...+22010 chia hết cho 4 và 13
c, Chứng minh: C=51+52+53+54+...+52010 chia hết cho 6 và 31
d, Chứng minh: C=71+72+73+74+...+72010 chia hết cho 8 và 57
Bài 2: So sánh
a, A=20+21+22+23+...+22011 và B=22011-1
b, A=2019.2021 và B=20202
Bài 1:
\(a,A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2009}+2^{2010}\right)\\ A=\left(1+2\right)\left(2+2^3+...+2^{2009}\right)=3\left(2+...+2^{2009}\right)⋮3\\ A=\left(2+2^2+2^3\right)+...+\left(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\right)\\ A=\left(1+2+2^2\right)\left(2+...+2^{2008}\right)=7\left(2+...+2^{2008}\right)⋮7\)
\(b,\left(\text{sửa lại đề}\right)B=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{2009}+3^{2010}\right)\\ B=\left(1+3\right)\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)=4\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)⋮4\\ B=\left(3+3^2+3^3\right)+...+\left(3^{2008}+3^{2009}+3^{2010}\right)\\ B=\left(1+3+3^2\right)\left(3+...+3^{2008}\right)=13\left(3+...+3^{2008}\right)⋮13\)
Bài 2:
\(a,\Rightarrow2A=2+2^2+...+2^{2012}\\ \Rightarrow2A-A=2+2^2+...+2^{2012}-1-2-2^2-...-2^{2011}\\ \Rightarrow A=2^{2012}-1>2^{2011}-1=B\\ b,A=\left(2020-1\right)\left(2020+1\right)=2020^2-2020+2020-1=2020^2-1< B\)
Cho biểu thức: M = 5 + 52 + 53 + … + 580. Chứng tỏ rằng:
a) M chia hết cho 6.
b) M không phải là số chính phương.
a) M = \(5+5^2+5^3+...+5^{80}\)
\(\Leftrightarrow M=5.\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+...+5^{79}\left(1+5\right)\)
\(\Leftrightarrow M=5.6+5^3.6+...+5^{79}.6\)
\(\Leftrightarrow M=6.\left(5+5^3+...+5^{79}\right)⋮6\)
=> M chi hết cho 6 => điều phải chứng minh
) M = (5+5^2) + (5^3+5^4) + … + (5^79+5^80)
M = 5(1+5) + 5^3(1+5) + … + 5^79(1+5)
M= 5.6 + 5^3.6 + … + 5^79.6
M = 6(5+5^3+…+5^79) chia hết cho 6
b) Ta thấy : M = 5 + 52+ 53+ ... + 580 cchia hết cho số nguyên tố 5
Mặt khác, do: 52 + 53 + ... 580 chia hết cho 52 (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 52)
=> M = 5 + 52 + 53 + ... + 580 không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 52)
=> M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52
=> M không phải số chính phương
Cho M=1/1*200+1/2*201+...+1/50*149 và N=1/1*51+1/2*52+1/3*53+...+1/199*249 Chứng minh 199 *M - 50 *N=0
Cho a là một số nguyên .
Chứng minh rằng biểu thức
M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) + 1 là một số chính phương .
\(M=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)
Đặt \(t=a^2+5a+5\)
\(M=\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2=\left(a^2+5a+5\right)^2\)
Cho một phép tính:
S = 5 + 52 + 53 + … + 52020
Hãy chứng minh 45 + S là sô chính phương.
cho biểu thức ;
M=5^0+5^1+5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^2009
Chứng tỏ rằng;(4M+1).2^2010 là số chính phương
chứng minh rằng tổng A =\(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+\dfrac{1}{53}+............+\dfrac{1}{100}\)
không phải là số tự nhiên
Có thể làm như sau
Ta thấy \(\dfrac{1}{51}< \dfrac{1}{50}\)
\(\dfrac{1}{52}< \dfrac{1}{50}\)
.......
\(\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{50}\)
=> A = \(\dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{50}.50=1\)
Lại có
\(\dfrac{1}{51}>\dfrac{1}{100}\)
\(\dfrac{1}{52}>\dfrac{1}{100}\)
.......
\(\dfrac{1}{99}>\dfrac{1}{100}\)
=> A = \(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+\dfrac{1}{53}+...+\dfrac{1}{100}>\dfrac{1}{100}.50=\dfrac{1}{2}\)
=> \(\dfrac{1}{2}< A< 1\)
Vậy A không phải số tự nhiên
Chứng minh: B = 31 + 32 + 33 + 34 + … + 22010 chia hết cho 4 và 13.
Chứng minh: C = 51 + 52 + 53 + 54 + … + 52010 chia hết cho 6 và 31.
Chứng minh: D = 71 + 72 + 73 + 74 + … + 72010 chia hết cho 8 và 57.
a: \(B=3^1+3^2+...+3^{2010}\)
\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{2009}\left(1+3\right)\)
\(=4\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)⋮4\)
\(B=3\left(1+3+3^2\right)+...+3^{2008}\left(1+3+3^2\right)\)
\(=13\left(3+...+3^{2008}\right)⋮13\)
b: \(C=5^1+5^2+...+5^{2010}\)
\(=5\left(1+5\right)+...+5^{2009}\left(1+5\right)\)
\(=6\left(5+...+5^{2009}\right)⋮6\)
\(C=5\left(1+5+5^2\right)+...+5^{2008}\left(1+5+5^2\right)\)
\(=31\left(5+...+5^{2008}\right)⋮31\)
c: \(D=7\left(1+7\right)+...+7^{2009}\left(1+7\right)\)
\(=8\left(7+...+7^{2009}\right)⋮8\)
\(D=7\left(1+7+7^2\right)+...+7^{2008}\left(1+7+7^2\right)\)
\(=57\left(7+...+7^{2008}\right)⋮57\)
2. Chứng minh rằng:
A = 5 + 52 + 53 + …+ 52021 không là số chính phương.
\(A=5+5^2+5^3+...+5^{2021}\)
\(=5\left(1+5\right)+5^2\left(1+5\right)+...+5^{2020}\left(1+5\right)\)
\(=5.6+5^2.6+...+5^{2020}.6\)
\(=6\left(5+5^2+...+5^{2020}\right)\)
Vì \(6\left(5+5^2+...+5^{2020}\right)\) ⋮6
⇒A không là số chính phương
\(A=5+5^2+5^3+...+5^{2021}⋮5\)
\(\Rightarrow5A=5^2+5^3+5^4+...+5^{2022}⋮25\) (vì đều chia hết \(5^2\))
\(\Rightarrow A⋮̸5^2=25\left(5⋮̸25\right)\)
Mà số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Vậy A không phải là số chính phương