a. Đề bài em ghi sai thì phải

Vì:

\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)

b.

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)

Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R

Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm

\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)

\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)

Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn  có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb

`{((a-1)x+y=a),(x+(a-1)y=2):}`

`<=>{(ax-x+y=a),(x+ay-y=2):}`

`<=>{(a(x-1)=x-y<=>a=[x-y]/[x-1]),(x+[x-y]/[x-1]-y=2):}`

`<=>x(x-1)+x-y-y(x-1)=2(x-1)`

`<=>x^2-x+x-y-xy+y=2x-2`

`<=>x^2-xy-2x+2=0`

_________________________________________

`b)x^2-xy-2x+2=0`

`<=>xy=x^2-2x+2`

`<=>y=x-2+2/x`

Thay `y=x-2+2/x` vào `6x^2-17y=7` có:

 `6x^2-17(x-2+2/x)=7`

`<=>6x^3-17x^2+34x-34-7x=0`

`<=>6x^3-12x^2-5x^2+10x+17x-34=0`

`<=>(x-2)(6x^2-5x+17)=0`

   Mà `6x^2-5x+17 > 0`

  `=>x-2=0<=>x=2`

 `=>y=2-2+2/2=1`

Thay `x=2;y=1` vào `(a-1)x+y=a` có: `(a-1).2+1=a<=>a=1`

\(P=\dfrac{1}{log_a\dfrac{a}{b}}+log_bb-log_ba=\dfrac{1}{1-log_ab}+1-log_ba\)

\(=\dfrac{log_ba}{log_ba-1}+1-log_ba\)

Đặt \(log_ba=x\Rightarrow x\ge2\)

\(P=f\left(x\right)=\dfrac{x}{x-1}+1-x\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}-1< 0\) \(\Rightarrow\) hàm nghịch biến

\(\Rightarrow P\) chỉ tồn tại max (tại \(x=2\)), ko tồn tại min

Đề sai

pt(1) có nghiệm là 2 khoảng (-2;-1) và (1;2)

pt(2) có 2 nghiệm phân biệt là x=a+1 hay x=a-2

Để hệ có nghiệm duy nhất thì:

+ \(\left\{{}\begin{matrix}a-2< -2\\-2\le a+1\le-1\end{matrix}\right.\)

+ \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le a-2\le-1\\a+1>-1\end{matrix}\right.\)

+ \(\left\{{}\begin{matrix}a-2< 1\\1\le a+1\le2\end{matrix}\right.\)

+ \(\left\{{}\begin{matrix}1\le a-2\le2\\a+1>2\end{matrix}\right.\)

Hợp nghiệm các trường hợp trên ta được:

\(-3\le a\le-2\) hay \(0\le a\le1\)hay \(3\le a\le4\)