Cho a , b , c thỏa mãn: 0 < a , b , c < 1.
CMR: Có ít nhất 1 trong các BĐT sau:
a (1 - b) > 1/4 ; b (1 - c) > 1/4 ; c (1 - a) > 1/4
Cho 0<a,b,c<1
CMR có ít nhất 1 trong các BĐT sau sai:
a(1-b)>1/4 , b(1-c)>1/4 , c(1-a)>1/4
Giả sử cả ba BĐT đều đúng, khi đó a(1−b)b(1−c)c(1−a)>164a(1−b)b(1−c)c(1−a)>164
Nhưng theo BĐT CauChy thì a(1−a)≤(a+1−a2)2=14a(1−a)≤(a+1−a2)2=14, tương tự ta có
a(1−b)b(1−c)c(1−a)≤164a(1−b)b(1−c)c(1−a)≤164, mâu thuẩn
Giả sử a(1-b),b(1-c),c(1-a)>1/4
=> a(1-b).b(1-c).c(1-a)>(1/4)3
=> a(1-a).b(1-b).c(1-c)>(1/4)^3
Ta có a(1-a)=1/4-(1/2-a)2<1/4
CMTT b(1-b), c(1-c) <1/4
=> a(1-b).b(1-c).c(1-a)<(1/4)3 trái với giả sử
=> 1 trong các BĐT sai
cho a,b,c thỏa mãn \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\)
cmr trong 2 pt sau: x^2+bx+c=0 và x^2+cx+b=0 sẽ có ít nhất 1 pt có nghiệm
cho ba só thỏa mãn a+b+c=2021 và 1/a+1/b+1/c=2021 cmr 1 trong 3 số a b c tồn tại ít nhất 1 số có giá trị 2021
Sửa lại đề: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}$.
--------------
Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} a+b+c=2021\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c(a+b+c)}=0\Leftrightarrow (a+b)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)})=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b).\frac{c(a+b+c)+ab}{abc(a+b+c)}=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b).\frac{(c+a)(c+b)}{abc(a+b+c)}=0\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0\)
$\Leftrightarrow (2021-c)(2021-a)(2021-b)=0$
Do đó ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ có 1 số có giá trị bằng $2021$
Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c= 3
CMR các phương trình sau ít nhất có 1 phương rình có 2 nghiệm phân biệt và 1 phương trình vô nghệm
x2 -2ax+b=0;
x2-2bx+c=0;
x2-2cx+a=0.
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: ab+bc+ca=abc và a+b+c=1.
CMR ít nhất một trong các số a,b,c phải bằng 1.
Gợi ý: Xét P=(a-1)(b-1)(c-1).
Từ giả thiết ta suy ra \(\hept{\begin{cases}abc-ab-bc-ac=0\\a+b+c-1=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(abc-ab-bc-ac\right)+\left(a+b+c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(abc-ab\right)-\left(ac-a\right)-\left(bc-b\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\) Ít nhất một trong các số a;b;c phải bằng 1 (đpcm)
cho 3 số a,b,c thuộc R* thỏa mãn: a+b+c=1 và 1/a+1/b+1/c=1. CMR có ít nhất 1 số bằng 1
cho 3 số a,b,c thuộc R* thỏa mãn: a+b+c=1 và 1/a+1/b+1/c=1. CMR có ít nhất 1 số bằng 1
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài ta có:
\(\frac{c-1}{c}=1-\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1-c}{ab}\) \(\Leftrightarrow (c-1)\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow (c-1)\left(\frac{1}{1-a-b}+\frac{1}{ab}\right)=\frac{(a-1)(b-1)(c-1)}{abc}=0\)
Do đó tồn tại ít nhất một trong các số đã cho có giá trị bằng $1$
CMR: Nếu a,b,c > 0 thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge a+b+c\)thì ta có BĐT \(a+b+c\ge3abc\)
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Lại có: \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a^2+b+c\right)}{3}\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3abc\)
cho 4 số a;b;c;d thỏa mãn điều kiện ac>2(b+d) cmr có ít nhất 1 trong cac bất đẳng thức sau là sai: a^2 <4b;c^2 <4d