ko giới hạn giá trị hả bạn?

\(\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{6}\)

=>\(\dfrac{xy+x-3}{3\left(y+1\right)}=\dfrac{1}{6}\)

=>\(2\left(xy+x-3\right)=1\)

=>2xy+2x-6=1

=>2xy+2x=7

=>2x(y+1)=7

=>x(y+1)=7/2

mà x,y nguyên

nên \(\left(x,y\right)\in\varnothing\)

1/y+1=x/3-1/6

1/y+1=2x/6-1/6

1/y+1= 2x-1/6

=> 1.6=(y+1).(2x-1)

ta có bảng

y+1     6      1       

2x-1    1      6         ...

y         5      0

x        1       7/2

                   loại

bạn nguyễn lê phước thịnh làm sai rồi

\(\dfrac{x}{3}=x+y=20\Rightarrow x=60\Rightarrow60+y=20\Rightarrow y=-40\)

Ta có:

\(\dfrac{x}{3}=20\)

\(\Rightarrow\)\(x=60\)

Lại có:

\(x+y=20\)

\(\Rightarrow\)\(y=20-60\)

\(\Rightarrow\)\(y=-40\)

Vây x = 60 và y = - 40

\(\dfrac{x}{3}=x+y\)

\(\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{3}x=-y\)

\(\Leftrightarrow y=-\dfrac{2}{3}x\)

Ta có: x+y=20

\(\Leftrightarrow x\cdot\dfrac{1}{3}=20\)

hay x=60

=> y=40

Ta có: 

\(x^4=y^4\)

\(\Rightarrow x^4-y^4=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2\right)^2-\left(y^2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-y^2=0\\x^2+y^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-y\end{matrix}\right.\)

_______________

Ta có: 

\(x^5=y^5\)

\(\Rightarrow x^5-y^5=0\)

\(\Rightarrow x-y=0\)

\(\Rightarrow x=y\)

Lời giải:
Nếu $y\vdots 5$ thì $5^x=y^2+y+1$ chia 5 dư 1

$\Rightarrow x=0$

Khi đó: $y^2+y+1=5^0=1\Rightarrow y^2+y=0$

$\Rightarrow y(y+1)=0$. Mà $y$ là stn nên $y=0$

Nếu $y$ chia 5 dư 1. Đặt $y=5k+1$. Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+1)^2+5k+1+1=25k^2+15k+3$ chia 5 dư 3
$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 3 (vô lý -loại) 

Nếu $y$ chia 5 dư 2. Đặt $y=5k+2$, Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+2)^2+5k+2+1=25k^2+25k+7$ chia 5 dư 2

$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 2 (vô lý)

Nếu $y$ chia 5 dư 3. Đặt $y=5k+3$, Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+3)^2+5k+3+1=25k^2+35k+13$ chia 5 dư 3

$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 3 (vô lý)

Nếu $y$ chia 5 dư 4. Đặt $y=5k+4$, Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+4)^2+5k+4+1=25k^2+45k+21$ chia 5 dư 1

$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 1 $\Rightarrow x=0$

$\Rightarrow y^2+y+1=5^x=1\Rightarrow y^2+y=0$

$\Rightarrow y(y+1)=0\Rightarrow y=0$ (do $y$ là stn). Mà $y$ chia 5 dư 4 nên ô lý.

Vậy $(x,y)=(0,0)$

THAM Khảo

Xét trên tập số tự nhiên

- Với \(y=0\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn

- Với \(y=1\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn

- Với \(y=2\Rightarrow x=1\)

- Với \(y\ge2\Rightarrow2^y⋮8\)

\(\Rightarrow5^x-1⋮8\)

Nếu \(x\) lẻ \(\Rightarrow x=2k+1\Rightarrow5^x=5.25^k\equiv5\left(mod8\right)\) \(\Rightarrow5^x-1\equiv4\left(mod8\right)\) ko chia hết cho 8 (ktm)

\(\Rightarrow x\) chẵn \(\Rightarrow x=2k\)

\(\Rightarrow5^x=5^{2k}=25^k\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow5^x-1\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow5^x-1⋮3\Rightarrow2^y⋮3\) (vô lý)

Vậy với \(y\ge3\) ko tồn tại x;y thỏa mãn

Có đúng 1 cặp thỏa mãn là \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

\(5^x-2^y=1\left(a\right)\left(x;y\in N\right)\)

Ta thấy với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\) thì \(\left(a\right)\) thỏa mãn

\(\left(a\right)\Leftrightarrow5^x-1=2^y\)

Với \(y\ge3\left(y\in N\right)\)

\(\Rightarrow5^x-1=2^y⋮8\left(b\right)\)

- Nếu \(x=2k\left(k\in N\right)\) (x là số chẵn)

\(\Rightarrow5^x-1=25^k-1⋮3\left(25^k\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow25^k-1\equiv0\left(mod3\right)\right)\)

\(\Rightarrow\left(b\right)\) không thỏa mãn

- Nếu \(x=2k+1\left(k\in N\right)\) (x là số lẻ)

\(\Rightarrow5^x-1=5.25^k-1\equiv4\left(mod8\right)\left(5.25^k\equiv5\left(mod8\right)\right)\)

Nên với \(y\ge3\) không tồn tại \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn \(\left(a\right)\)

Vậy có đúng 1 cặp nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\) thỏa mãn đề bài