Bài 2: 

a) Ta có: \(3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+2}\)

\(=3^{n+1}\cdot10+2^{n+3}\cdot3⋮6\)

b) Ta có: \(4^{13}+32^5-8^8\)

\(=2^{26}+2^{25}-2^{24}\)

\(=2^{24}\left(2^2+2-1\right)\)

\(=2^{24}\cdot5⋮5\)

c) Ta có: \(2014^{100}+2014^{99}\)

\(=2014^{99}\left(2014+1\right)\)

\(=2014^{99}\cdot2015⋮2015\)

Lời giải:

a) Xét hiệu \(\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}=\frac{(a+n).b-a(b+n)}{b(b+n)}=\frac{n(b-a)}{b(b+n)}\)

Nếu $b>a$ thì $\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}>0\Rightarrow \frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}$

Nếu $b<a$ thì $\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}<0\Rightarrow \frac{a+n}{b+n}<\frac{a}{b}$

Nếu $b=a$ thì $\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}=0\Rightarrow \frac{a+n}{b+n}=\frac{a}{b}$

b) Rõ ràng $10^{11}-1< 10^{12}-1$. 

Đặt $10^{11}-1=a; 10^{12}-1=b; 11=n$ thì: $a< b$; $A=\frac{a}{b}$ và $B=\frac{10^{11}+10}{10^{12}+10}=\frac{a+n}{b+n}$

Áp dụng kết quả phần a:

$b>a\Rightarrow \frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}$ hay $B>A$

a: ΔHBA vuông tại B

=>HB<HA

Vì AB<BC

nên HA<HC

=>HB<HA<HC

b: HA<HC

=>góc HCA<góc HAC

c: HA<HC

=>góc HCA<góc HAC

=>góc AHB>góc BHC

+ a < b ⇒ 2a < 2b (nhân cả hai vế với 2 > 0, BĐT không đổi chiều).

+ a < b ⇒ a + a < b + a (Cộng cả hai vế với a)

hay 2a < a + b.

+ a < b ⇒ (-1).a > (-1).b (Nhân cả hai vế với -1 < 0, BĐT đổi chiều).

hay –a > -b.

2a < 2b              2a < a+b                -a > -b

\(a< b\)

\(\Leftrightarrow2a< 2b\)

\(a< b\)

\(\Leftrightarrow a+a< b+a\)

\(\Leftrightarrow2a< a+b\)

\(a< b\)

\(\Leftrightarrow-1a>-1b\)

\(\Leftrightarrow-a>-b\)

Do \(a< b\) , nên :

Gọi \(a=2,b=3\)

+ \(2a\Leftrightarrow2.2=4\)

   \(2b=2.3=6\)

   Mà \(4< 6\) \(\Rightarrow2a< 2b\)

+ \(2a\Leftrightarrow2.2=4\)

   \(a+b\Leftrightarrow2+3=5\)

   Mà \(4< 5\) \(\Rightarrow2a< a+b\)

+ \(-a\Leftrightarrow-1.2=-2\)

   \(-b\Leftrightarrow-1.3=-3\)

   Mà \(-2>-3\) \(\Rightarrow-a>-b\)

a) Ta có: a>b => 2a > 2b  (nhân 2 vế với 2)

                     => 2a - 3 > 2b - 3 (cộng 2 vế với -3)

b) Ta có: -4a+1 < -4b+ 1 => -4a < -4b ( cộng 2 vế với -1)

                                       => a > b (nhân 2 vế với -1/4)

c) Ta có: 3-4a < 5c+2 => 3-4a-3 < 5c+2-3 (cộng 2 vế với -3)

                                  => -4a < 5c-1

Mà 5c-1 < -4b nên -4a < -4b => a > b (nhân cả 2 vế với -1/4)

\(a,\dfrac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>1\cdot b=b\\ \dfrac{a}{b}< 1\Leftrightarrow a< 1\cdot b=b\\ b,\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\left(b+1\right)}{b\left(b+1\right)}=\dfrac{ab+a}{b^2+b}\\ \dfrac{a+1}{b+1}=\dfrac{b\left(a+1\right)}{b\left(b+1\right)}=\dfrac{ab+b}{b^2+b}\\ \forall a=b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+1}{b+1}\\ \forall a>b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+1}{b+1}\\ \forall a< b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+1}{b+1}\)

\(c,\forall a>b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{a-b}{b}>\dfrac{a-b}{b+n}\left(b< b+n;a-b>0\right)=\dfrac{a+n}{b+n}-1\\ \Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+n}{b+n}\\ \forall a< b\Leftrightarrow1-\dfrac{a}{b}=\dfrac{b-a}{b}>\dfrac{b-a}{b+n}\left(b< b+n;b-a>0\right)=1-\dfrac{a+n}{b+n}\\ \Leftrightarrow1-\dfrac{a}{b}>1-\dfrac{a+n}{b+n}\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+n}{b+n}\\ \forall a=b\Leftrightarrow\dfrac{a+n}{b+n}=\dfrac{a}{b}\left(=1\right)\)