nối BE , CD

=> \(\widehat{BEC}=90,\widehat{CDB}=90\)

MÀ \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=60\)

=>\(\widehat{CBE}=\widehat{BCD}=90-60=30\)

=> CUNG CE = CUNG BD 

VÌ TAM GIÁC ĐỀU => CE VỪA LÀ ĐƯỜNG CAO CŨNG LÀ PHÂN GIÁC => CUNG BD = CUNG DE

a) Gọi O là trung điểm của BC.

Ta có \(\stackrel\frown{BD}=\stackrel\frown{DE}=\stackrel\frown{EC}\Rightarrow\widehat{BOD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOC}=60^o\).

Từ đó CE // AB, BD // AC.

Suy ra \(\Delta ABN\sim\Delta ECN\).

b) Theo tính đối xứng ta có BM = CN.

Ta có \(\dfrac{BN}{NC}=\dfrac{AB}{CE}=\dfrac{AB}{CO}=2\Rightarrow BN=2NC\Rightarrow MN=NC\).

Dễ dàng suy ra đpcm.

a: Xét (O) có 

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

Xét (O) có 

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

Xét ΔABC có

BD là đường cao

CE là đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: AH⊥BC

E tk nhe:

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên DN là trung trực của BC nên DN là phân giác  B D C ^

Ta có  K Q C ^ = 2 K M C ^  (góc nọi tiếp bằng nửa góc ở tâm trong dường tròn (Q))

N D C ^ = K M C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung  N C ⏜ )

Mà  B D C ^ = 2 N D C   ^ ⇒ K Q C ^ = B D C ^

Xét 2 tam giác BDC & KQC là các các tam giác vuông tại D và Q có hai góc ở  ⇒ B C D ^ = B C Q ^  do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ//PK

Chứng minh tương tự ta có  ta có D, P, B thẳng hàng và DQ//PK

Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK. Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Theo câu a ,BC > BD

Vì trong một đường tròn, dây cung lớn hơn căng cung lớn hơn nên :

a: góc BEC=1/2*180=90 độ

góc BDC=1/2*180=90 độ

góc AEH+góc ADH=180độ

=>AEHD nội tiếp

b: Xet ΔABC có BD,CE là đường cao

BD cắt CE tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC

Xét ΔSBE và ΔSDC co

góc SBE=góc SDC

góc S chung

=>ΔSBE đồng dạngvơi ΔSDC

=>SB/SD=SE/SC

=>SB*SC=SD*SE

c: góc AFC=góc AEC=90 độ

=>AEFC nội tiếp

=>góc FEC=góc FAC