a) • Ta có: M ∈ b và (P) ∩ (Q) = b;

Suy ra M ∈ (P).

Mà M ∈ (M, a)

Do đó M là giao điểm của (P) và (M, a).

Lại có b’ = (P) ∩ (M, a)

Suy ra đường thẳng b’ đi qua M.

Tương tự ta cũng chứng minh được b’’ đi qua điểm M.

• Ta có: a // (P);

             a ⊂ (M, a)

             (M, a) ∩ (P) = b’

Do đó a // b’.

Tương tự ta cũng có a // b’’.

Do đó b’ // b’’.

Mặt khác: (P) ∩ (Q) = b;

                 (M, a) ∩ (P) = b’;

                 (M, a) ∩ (Q) = b’’;

                 b // b’’.

Do đó b // b’ // b’’.

Mà cả ba đường thẳng cùng đi qua điểm M nên ba đường thẳng này trùng nhau.

b) Vì a // b’ nên a // b (do b ≡ b’).

tham khảo

Ta có:\(a//\left(P\right)\)

         \(a//\left(Q\right)\)

        \(\left(P\right)\cap\left(Q\right)=b\)

Do đó theo hệ quả định lí \(2\) ta có \(a//b\).

a) Ta có: PA = PB (A; B nằm trên cung tròn tâm P) nên P nằm trên đường trung trực của AB.

CA = CB (C nằm trên 2 cung tròn tâm A, B bán kính bằng nhau) nên C nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy CP là đường trung trực của AB, suy ra PC ⊥ d.

b) Một cách vẽ khác

- Lấy hai điểm A, B bất kì trên d.

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP, cung tròn tâm B bán kính BP. Hai cung tròn cắt nhau tại C (C khác P).

- Vẽ đường thẳng PC. Khi đó PC là đường đi qua P và vuông góc với d.

Chứng minh :

- Theo định lí 2 :

PA = CA ( P,C cùng thuộc cung tròn tâm A bán kính PA)

⇒ A thuộc đường trung trực của PC.

PB = CB (P, C cùng thuộc cung tròn tâm B bán kính PB)

⇒ B thuộc đường trung trực của PC.

⇒ AB là đường trung trực của PC

⇒ PC ⏊ AB hay PC ⏊ d.

DC = DA

OA = OC

Do đó OD là trung trực của đoạn thẳng AC : suy ra OD vuông góc với AC

Tứ giác OECH có góc CEO + góc CHO = 180 độ 

Suy ra tứ giác OECH là tứ giác nội tiếp

a) Kẻ OH ⊥⊥ d

=> OH là khoảng cách từ d tới tâm đường tròn (O)

mà OH < R (3 < 5)

=> Đường thẳng d cắt đường tròn (O)

b) Xét ΔΔOAH vuông tại H có:

OH2+AH2=OA2OH2+AH2=OA2 (ĐL Pi-ta-go)

=> AH=OA2−OH2−−−−−−−−−−√=52−32−−−−−−√=4(cm)AH=OA2−OH2=52−32=4(cm)

Xét (O): AB là dây, OH ⊥⊥ AB

=> H trung điểm AB (quan hệ ⊥⊥ giữa đường kính và dây cung)

=> AB = 2AH = 8(cm)

c) Xét ΔΔABC có: O, H trung điểm AC, AB

=> OH là đường trung bình ΔΔABC

=> OH // BC mà OH ⊥⊥ AH

=> BC ​⊥⊥​ AH => ΔΔABC vuông tại B

=> AB2 + BC2 = AC2

=> BC=102−82−−−−−−−√=6(cm)BC=102−82=6(cm)

Xét ΔΔABC vuông tại B

có: sinC=ABAC=810=45⇒Cˆ=53o7′sinC=ABAC=810=45⇒C^=53o7′

=> Aˆ=36o52′A^=36o52′

d) Xét ΔΔACM vuông tại C: CB ⊥⊥ AM

có: AC2=AB⋅AMAC2=AB⋅AM (HTL tam giác vuông)

=> AM=AC2AB=1028=12,5(cm)AM=AC2AB=1028=12,5(cm)

lại có: AB + BM = AM ; AB = 8(cm)

=> BM = 4,5(cm)

Chọn C

a) Ta có PA = PB (A, B nằm trên cung tròn có tâm P) CA = CB (hai cung tròn AB có tâm A và B có bán kính bằng nhau; C la giao điểm của 2 cung)

Vậy P; C cách đều A và B nên đường thẳng CP là đường trung trực của AB nên

PC ⊥ d

b) Một cách vẽ khác

- Lấy điểm A bất kì trên d

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP cắt đường thẳng d tại M

- Vẽ cung tròn tâm M bán kính MP cắt cung tròn tâm A tại C

- Vẽ đường thẳng PC, đường thẳng PC chính là đường vuông góc với d.

=> PC ⊥ d (đpcm)

Hướng dẫn:

a) Ta có PA = PB (A, B nằm trên cung tròn có tâm P) CA = CB (hai cung tròn AB có tâm A và B có bán kính bằng nhau; C la giao điểm của 2 cung)

Vậy P; C cách đều A và B nên đường thẳng CP là đường trung trực của AB nên

PC ⊥ d

b) Một cách vẽ khác

- Lấy điểm A bất kì trên d

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP cắt đường thẳng d tại M

- Vẽ cung tròn tâm M bán kính MP cắt cung tròn tâm A tại C

- Vẽ đường thẳng PC, đường thẳng PC chính là đường vuông góc với d.

=> PC ⊥ d (đpcm)

a) Ta có PA = PB (A, B nằm trên cung tròn có tâm P) CA = CB (hai cung tròn AB có tâm A và B có bán kính bằng nhau; C la giao điểm của 2 cung)

Vậy P; C cách đều A và B nên đường thẳng CP là đường trung trực của AB nên

PC ⊥ d

b) Một cách vẽ khác

- Lấy điểm A bất kì trên d

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP cắt đường thẳng d tại M

- Vẽ cung tròn tâm M bán kính MP cắt cung tròn tâm A tại C

- Vẽ đường thẳng PC, đường thẳng PC chính là đường vuông góc với d.

=> PC ⊥ d (đpcm)

Đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P)

Vì: \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\)