1) Xét x=7k (k ∈ Z) thì x³ ⋮ 7

Xét x= \(7k\pm1\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Xét x=\(7k\pm2\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Xét x=\(7k\pm3\)\(\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Do vế trái của pt chia cho 7 dư 0,1,6 còn vế phải của pt chia cho 7 dư 2. Vậy pt không có nghiệm nguyên.

3) a, Ta thấy x,y,z bình đẳng với nhau, không mất tính tổng quát ta giả thiết x ≥ y ≥ z > 0 <=> \(\dfrac{1}{x}\le\dfrac{1}{y}\le\dfrac{1}{z}\) ,ta có: 

\(1=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le\dfrac{3}{z}< =>z\le3\)

Kết luận: nghiệm của pt là ( x;y;z): (6:3:2), (4;4;2), (3;3;3) và các hoán vị của nó (pt này có 10 nghiệm).

Tham khảo nha ông:

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\le y\le z\)

Do \(xyz=1\)

\(x+y+z>1\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=xy+xz+yz\)

\(\Rightarrow x+y+z-\left(xy+xz+yz\right)>0\)

Xét:

\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=\left(x-1\right)\left(yz-y-z+1\right)=xyz-xy-xz+x-yz+y+z-1\)

\(=x+y+z-\left(xy+xz+yz\right)>0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)>0\)

Do \(x\le y\le z\) ta chỉ có 2 trường hợp sau

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\y-1>0\\z-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>1\\y>1\\z>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xyz>1\) (mâu thuẫn giả thiết)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1< 0\\y-1< 0\\z-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 1\\y< 1\\z>1\end{matrix}\right.\)

Vậy trong 3 số có đúng 1 số lớn hơn 1

Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :

$\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{x+1}{8}+\frac{x+1}{8}\ge 3\sqrt[3]{3\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}$

=> $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{x+1}{4}$ (1)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 

CM tương tự ra có " $\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{y+1}{4}$(2) ; $\frac{1}{{\left(z+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{z+1}{4}$ (3)

Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1 

Từ (1) (2) và (3) => $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(z+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}\cdot 3-\frac{x+y+z+3}{4}$$\ge \frac{9}{4}-\frac{3\sqrt[3]{3xyz}+3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}$

BĐT được chứng minh 

Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1

:()

Ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) \(\ge\) \(\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\) (1)

\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{yz}}\) (2)

\(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xz}}\) (3)

Cộng (1);(2);(3) vế theo vế ta được:

\(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\) (đpcm)

Yêu cầu đề bài là gì vậy bạn?

\(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2xz}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{xz+2yz}\)

\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1}{3}\) 

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)