Do vai trò x;y;z như nhau, ko mất tính tổng quát giả sử \(x\ge y\ge z\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1991}\le\dfrac{3}{z}\Rightarrow z\le5973\)
\(\Rightarrow\) Số giá trị của z hữu hạn
Ứng với mỗi \(z=z_0\) thỏa mãn \(0< z_0\le5973\), đặt \(\dfrac{1}{1991}-\dfrac{1}{z_0}=\dfrac{m}{n}\) tối giản
\(\Rightarrow\) Ứng với mỗi \(z_0\) chỉ cho đúng 1 giá trị m và 1 giá trị n cố định tương ứng
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{m}{n}\Rightarrow mxy-nx-ny=0\)
\(\Leftrightarrow m^2xy-mnx-mny+n^2=n^2\)
\(\Leftrightarrow mx\left(my-n\right)-n\left(my-n\right)=n^2\)
\(\Leftrightarrow\left(mx-n\right)\left(my-n\right)=n^2\) (1)
Do n cố định nên \(n^2\) chỉ có số ước nguyên hữu hạn
\(\Rightarrow\)(1) chỉ có số nghiệm nguyên hữu hạn
Vậy pt đã cho có số nghiệm hữu hạn
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{1991}
\]
\[
1991(xy + yz + zx) = xyz
\]
hoặc
\[
xyz = 1991(xy + yz + zx)
\]
\[
1 = \frac{1991(yz + zx + xy)}{xyz}
\]
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{3}{z}
\]
\[
\frac{3}{z} \leq \frac{1}{1991} \implies z \geq 5973
\]
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{1991}
\]
Vậy, phương trình
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{1991}
\]
chỉ có một số hữu hạn nghiệm nguyên dương.
