Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

$a+b\geq 2\sqrt{ab}$

$b+c\geq 2\sqrt{bc}$

$c+a\geq 2\sqrt{ca}$

Nhân theo vế thu được: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b; b=c; c=a$ hay $a=b=c$ (đpcm)

áp dụng bất đẳng thức cô-si với 2 số dương.

Ta có 

 \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

 \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)(vì a,b,c dương)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}.2\sqrt{ab}=8abc\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

\(\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ac}\)

\(=8abc=VP\)

Khi \(a=b=c\)

BĐT\(\Leftrightarrow\)(a+b)+(b+c)+(c+a)\(\ge\)8abc

TA có BDT cô si

a+b\(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\)(a+b)(b+c)(a+c)\(\ge\)\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}\)

Vậy (1-a)(1-b)(1-c)\(\ge\)8abc

Cô-Si 2 số dương:

\(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{cases}}\)

\(=>\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=\left(2.2.2\right)\left(\sqrt{ab}.\sqrt{bc}.\sqrt{ca}\right)=8abc\)

Đề phải cho \(a,b,c\) là các số dương nữa :)

Giải:

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) (Đpcm)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Bổ sung đk a,b,c > 0

BĐT \(\Leftrightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)

\(\Rightarrow\) Q.E.D

Dấu "=" xảy ra tại a =b =c 

vì a>0;b>0;c>0\(\Rightarrow\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\)luôn được xác định

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\Rightarrow a-2\sqrt{ab}+b>=0\Rightarrow a+b>=2\sqrt{ab}\)

\(\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2>=0\Rightarrow b-2\sqrt{bc}+c>=0\Rightarrow b+c>=2\sqrt{bc}\)

\(\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2>=0\Rightarrow c-2\sqrt{ca}+a>=0\Rightarrow c+a>+2\sqrt{ca}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)>=2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)(đpcm)

dấu = xảy ra khi a=b=c

Áp dụng ĐBT Cauchy - schwarz cho 2 số không âm, ta được:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\left(đpcm\right)\)

chtt

Cô Loan ơi cứu em, em sắp thi HSG rồi