n² + n + 1 = n ( n + 1 ) + 1

Vì n . ( n + 1 ) là hai số liên tiếp mà hai số liên tiếp có tận cùng là 0,2,6 

=> n . ( n + 1 ) + 1 có tận cùng là : 1 , 3 , 7 không chia hết cho 5

Mà số chia hết cho 4 phải là số chẵn => n . ( n + 1 ) + 1 không chia hết cho 4

  Vậy n²+n+1 không chia hết cho 4,5 ( dpcm )

n²+ n + 1 = n ( n + 1 ) + 1

Thử các trường hợp n tận cùng là các chữ số 0, 1, 2, .., 9 ta có nhận xét:  n. ( n + 1 ) là hai số liên tiếp nên có tận cùng là 0 , 2 , 6 

=> n .( n + 1 ) + 1 có tận cùng là 1 ,  3 , 7 không chia hết cho 5  (vì không có tận cùng là 5 hoặc 0).

Thêm nữa n.(n + 1) +1 có chữ số tận cùng là 1 , 3 , 7 nên là số lẻ => Nó không chia hết cho 2 => Nó cũng ko chia hết cho 4.

  Vậy n²+ n + 1 không chia hết cho 4,5 ( dpcm )

Dat n\(^2\)+n+1=A

A=n(n+1)+1

Ma n(n+1) tan cung la 0,2,6

\(\Rightarrow\)A tan cung la 1,3,7

\(\Rightarrow\)A tan cung la le\(\Rightarrow\)A ko chia het cho 4(dpcm)

A ko tan cung la 0,5\(\Rightarrow\)A ko chia het cho 5(dpcm)

Đặt \(n^2+n+1\)là A ta có 

A=n(n+1)+1

Mà n(n+1) tận cùng là các số 0;2;6

⇒A tận cùng là các số  1,3,7

⇒A  tận cùng là lẻ⇒A ko chia het cho 4(dpcm)

A ko tan cung la 0,5⇒A ko chia het cho 5(dpcm)

P/s tham khảo nha 

a)Nếu n=2k(kEN)

thì n²+n+1=4k^2+2k+1(ko chia hết cho 2, vì 1 ko chia hết cho 2)

Nếu n=2k+1(kEN)

thì n²+n+1=n(n+1)+1=(2k+1)(2k+1+1)+1=(2k+1)(2k+2)+1=(2k)(2k+2)+2k+2+1=4k^2+4k+2k+2+1=4k^2+6k+3(ko chia hết cho 2 vì 3 ko chia hết cho 2)

Vậy với mọi nEN thì n²+n+1 ko chia hết cho 2

b)n(n+1)(5n+1)=(n²+n)(5n+1)=5n³+n²+5n²+n

Nếu n=2k(kEN )

thì n(n+1)(5n+1)=10k³+2k²+10k²+2k(chia hết cho 2)

Nếu n=2k+1(kEN)

thì n(n+1)(5n+1)=5(2k+1)³+(2k+1)+5(2k+1)²+2k+1=...................................

tương tự, n=3k;3k+1;3k+2

mỏi tay chết đi được, mấy con số còn bay đi lung tung

a) Ta có n³ - n + 4 

= n(n² - 1) + 4

= (n - 1)n(n + 1) + 4 

Vì (n - )n(n + 1) \(⋮3\)(tích 3 số nguyên liên tiếp) 

mà 4 \(⋮̸\)3 

=> n³ - n + 4 không chia hết cho 3

Bài 4:

$A+2=1+2+2^2+2^3+...+2^{11}$

$=(1+2)+(2^2+2^3)+....+(2^{10}+2^{11})$

$=(1+2)+2^2(1+2)+....+2^{10}(1+2)$

$=(1+2)(1+2^2+....+2^{10})$

$=3(1+2^2+...+2^{10})\vdots 3$

Vậy $A+2\vdots 3$ nên $A$ không chia hết cho $3$

Bài 5:

$n^2+n+1=n(n+1)+1$
Vì $n,n+1$ là hai số tự nhiên liên tiếp nên sẽ tồn tại một số chẵn và 1 số lẻ

$\Rightarrow n(n+1)$ chẵn 

$\Rightarrow n^2+n+1=n(n+1)+1$ lẻ (điều phải chứng minh) 

a: \(\left(n+3\right)^2-n^2=\left(n+3+n\right)\left(n+3-n\right)\)

\(=3\left(2n+3\right)⋮3\)

b: Đặt A=\(\left(n-5\right)^2-n^2\)

\(A=\left(n-5\right)^2-n^2\)

\(=n^2-10n+25-n^2\)

\(=-10n+25=5\left(-2n+5\right)⋮5\)

\(A=\left(n-5\right)^2-n^2\)

\(=-10n+25\)

\(-10n⋮2;25⋮̸2\)

=>-10n+25 không chia hết cho 2

=>A không chia hết cho 2

(n + 3)² - n² = n² + 6n + 9 - n²

= 6n + 9

= 3(3n + 3) ⋮ 3

Vậy [(n + 3)² - n²] ⋮ 3 với mọi n ∈ ℕ

--------

(n - 5)² - n² = n² - 10n + 25 - n²

= -10n + 25

= -5(2n - 5) ⋮ 5

Do -10n ⋮ 2

25 không chia hết cho 2

⇒ -10n + 25 không chia hết cho 2

Vậy [(n - 5)² - n²] ⋮ 5 và không chia hết cho 2 với mọi n ∈ ℕ

\(A=n\left(n+1\right)+1\)

Vì n(n+1) chia hết cho 2

nên A ko chia hết cho 2

sai roi