a) Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).

Vì \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB} \) nên tứ giác MNBA là hình bình hành.

Nói cách khác B là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow a \) và điểm A.

Tương tự, C là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow b \) và điểm B.

b) Dễ thấy: tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là vecto \(\overrightarrow {AC} \).

Do đó tổng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)bằng vecto \(\overrightarrow {AC} \).

Ta có viết: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

a) Đặt D, E lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow a \)hay \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {DE} \)

\( \Leftrightarrow MAED\) là hình bình hành.

Do đó A là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow a \)và điểm M.

Tương tự ta có:

B là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow b \)và điểm M.

Lại có: \(\overrightarrow {MC}  =  - \overrightarrow b  =  - \overrightarrow {MB} \) do đó \(MC = MB\) và hai vecto \(\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {MC} \) ngược hướng nhau.

Hay M là trung điểm đoạn thẳng BC.

b) Lấy N là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMCN.

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MN} \)

Mà: \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow a ;\;\overrightarrow {MC}  =  - \overrightarrow b \)

\( \Rightarrow \overrightarrow a  + ( - \overrightarrow b ) = \overrightarrow {MN} \).

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a \;\;\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//\;a\\AB = a\end{array} \right.\) và \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow a \;\;\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'B'\;//\;a\\A'B' = a\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//\;A'B'\\AB = A'B'\end{array} \right.\)

Tương tự, ta cũng suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}BC//\;B'C'\\BC = B'C'\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'\)(c-g-c)

\(\left\{ \begin{array}{l}AC//\;A'C'\\AC = A'C'\end{array} \right.\)

Dễ dàng suy ra  \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'C'} \).

a) \(\overrightarrow {MN}  = 3\overrightarrow a \)có độ dài bằng 3 lần vectơ \(\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \)

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MN với độ dài là 6 ô vuông và có hướng từ trái sang phải

\(\overrightarrow {MP}  =  - 3\overrightarrow b \)có độ dài bằng 3 lần vectơ \( - \overrightarrow b \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow b \)

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MP với độ dài là 3 đường chéo ô vuông và có hướng từ trên xuống dưới chếch sang trái

b) Hình vuông với cạnh bằng 1 thì ta tính được đường chéo có độ dài là \(\sqrt 2 \); \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 \) . Suy ra:

\(\left| {3\overrightarrow b } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\sqrt 2 \); \(\left| { - 3\overrightarrow b } \right| = 3\left| {\overrightarrow { - b} } \right| = 3\sqrt 2 \); \(\left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| = \left| {2\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|\)

Từ điểm cuối của vectơ \(\overrightarrow a \) vẽ một vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow b \) ta có \(\overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài của vectơ \(\overrightarrow c \)là \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\widehat {\overrightarrow a ,\overrightarrow b }} \right)}  = \sqrt {{2^2} + {{\sqrt 2 }^2} - 2.2.\sqrt 2 .\cos \left( {135^\circ } \right)}  = \sqrt {10} \)

\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow c } \right| = 2\sqrt {10} \)

Tham khảo:

a)  M thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng với nhau.

Lại có: MB = 3 MC \( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 3.\overrightarrow {MC} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \)

Mà \(BM = \dfrac{3}{4}BC\) nên \(\overrightarrow {BM}  = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

Lại có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Vậy \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow a  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow b  = \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {DC} \)

Mà ABCD là hình thang nên AB//DC. Mặt khác vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \) đều có hướng từ trái sang phải, suy ra vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \)cùng hướng

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.

Do các vectơ đều nằm trên đường thẳng AB nên các vectơ này đều cùng phương với nhau.

Dễ thấy:

Các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng (từ trái sang phải.)

Các vectơ \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) cùng hướng (từ phải sang trái.)

Do đó, các cặp vectơ cùng hướng là:

\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CA} \);  \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CB} \);\(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CB} \).

Các cặp vectơ ngược hướng là:

\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BA} \); \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CA} \); \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \);

\(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BA} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CA} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CB} \);

\(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BA} \); \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CA} \); \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CB} \);

Ta có: \(AB = BC = CD = DA = 1;\)

            \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \)

a) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {DO}  = \left( {\overrightarrow {DO}  + \overrightarrow {OB} } \right) = \overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = \sqrt 2 \)

b)  \(\overrightarrow b = \left( {\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB}  - \overrightarrow {DC} } \right)\)

   \( = \left( {\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {AO} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} } \right)\)

   \( = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 1\)

Chú ý khi giải:

Khi có dấu trừ phía trước ta thường thay bằng vectơ đối của nó và ngược lại