Hãy phát hiện lỗi sai

Giả sử x = y

Nhân cả hai vế với x, ta được: x² = xy;

Trừ cả hai vế cho y², được: x²-y²;

Phân tích thành nhân tử cả hai vế, ta được: (x + y)(x - y) = y(x - y);

Chia cả hai vế cho x - y, ta được: x + y = y.

Vì x = y, do đó 2y = y.

Chia cả hai vế cho y, ta có: 2 = 1.

Có phải 2 = 1 không? Em có thể tìm ra lỗi trong các bước của trình bày trên không?

Giải bài toán sau bằng phương pháp chứng minh phản chứng: “Chứng minh rằng với mọi x, y, z bất kì thì các bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra  x < y − z ; y < z − x ; z < x − y ”

Một học sinh đã lập luận tuần tự như sau:

(I) Giả định các đẳng thức xảy ra đồng thời.

(II) Thế thì nâng lên bình phương hai vế các bất đẳng thức, chuyển vế phải sang vế trái, rồi phân tích, ta được:

(x – y + z)(x + y – z) < 0

(y – z + x)(y + z – x) < 0

(z – x + y)(z + x – y) < 0

(III) Sau đó, nhân vế theo vế ta thu được:(x – y + z ) 2 (x + y – z)(-x + y + z) < 0 (vô lí)

Lý luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoan nào?

A. (I)

B. (II)

C. (III)

D. Lý luận đúng

Cho x,y là hai số dương thay đổi t/m: \(x+\frac{1}{y}\le1\).

Tìm Minh của biểu thức: \(M=\frac{4}{x}+y\)

Một bạn đã giải như sau:

 Lời giải:

Từ giả thiết,áp dụng BĐT AM-GM cho hai số dương,ta có:

\(1\ge x+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{y}}=2\sqrt{\frac{x}{y}}\) (1)

\(M=\frac{4}{x}+y\ge2\sqrt{\frac{4}{x}.y}=4\sqrt{\frac{y}{x}}\) (2)

Nhân về theo vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (1) và (2) (vì cả hai vế đều dương) ta được \(M\ge8\).

Vậy Min M = 8

        Theo bạn,lời giải trên đã đúng chưa? Nếu sai hãy chỉ ra lỗi sai đó và chữa lại.