Gọi A là vị trí đứng của Nam, B là điểm cao nhất của cây, C là vị trí gốc cây.

Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Ta có hình vẽ:

TH1: Cây cao hơn tòa nhà

Ta có: \(\tan {24^ \circ } = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow BH = 30.\tan {24^ \circ } \approx 13,357\)

\( \Rightarrow BC = BH + HC \approx 13,357 + 1,5 + 18,5 = 33,357(m)\)

TH2: Cây thấp hơn tòa nhà

Ta có: \(\tan {24^ \circ } = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow BH = 30.\tan {24^ \circ } \approx 13,357\)

\( \Rightarrow BC = HC -HB  \approx  1,5 + 18,5 - 13,357= 6,643(m)\)

ve hinh thang vuong ABED co AD//BC ; va ED vuong goc voi BC keo dai ;
E thuoc BC keo dai(hinh chieu cua BC tren mat dat)
.D la diem duoi mat dat cua A AD=7m; BC=5m
Cac goc 40 ; 50 do la giua AC ; AB voi phuong nam ngang .
Ta tinh duoc DE theo BC : DE =BC/(tan50-tan40)
=> Bc da biet tan ta tra duoc .Con CE la chieu cao cua nha :
Vay : CE=AD+DE*tan40= 7+5*tan40/(tan50-tan40)

Xét \(\Delta ECD\) vuông tại `E`

Ta có:\(Tan\widehat{D}=\dfrac{EC}{ED}\left(tslg\right)\)

\(\Rightarrow Tan42^o=\dfrac{EC}{30}\\ \Rightarrow EC=30\cdot Tan30^o\\ \Rightarrow EC\approx27m\)

Chiều cao của ống khói đó là:

\(AC=EC+EA\\ \Rightarrow AC=27+1,65\approx28,65m\)

Xét \(\Delta CED\) vuông tại `E`

Ta có: \(Tan\widehat{D}=\dfrac{EC}{ED}\left(tslg\right)\)

\(\Rightarrow Tan\widehat{D}=\dfrac{28,65}{18+30}\\ \Rightarrow Tan\widehat{D}\approx30^o50'.\)

Với góc nhìn tạo với phương nằm ngang là 42 độ, ta có:
tan(42°) = h / 15

Để tìm giá trị của h, ta cần giải phương trình trên để tìm giá trị của h.

tan(42°) = h / 15
h = tan(42°) * 15

Sử dụng máy tính, ta tính được:
h ≈ 15.7m

Vậy, chiều cao của cây là khoảng 15.7m.

Tham khảo:

a)

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.

Ta có: \(\widehat {HAB} = {50^o}\); \(\widehat {HAC} = {40^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {BAC} = {50^o} - {40^o} = {10^o}\) (1)

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

\(\widehat H = {90^o};\;\widehat {BAH} = {50^o}.\)

\( \Rightarrow \widehat {HBA} = {180^o} - {90^o} - {50^o} = {40^o}\) hay \(\widehat {CBA} = {40^o}\). (2)

Từ (1) và (2), suy ra: \(\widehat {BCA} = {180^o} - {40^o} - {10^o} = {130^o}.\)

Vậy ba góc của tam giác ABC lần lượt là: \(\widehat A = {10^o};\;\widehat B = {40^o};\;\widehat C = {130^o}\).

b)

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC, ta được:

 \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\) \( \Rightarrow AB = \frac{{BC.\sin C}}{{\sin A}}\)

Mà: \(BC = 5\;(m);\;\;\widehat C = {130^o};\;\widehat A = {10^o}\)

\( \Rightarrow AB = \frac{{5.\sin {{130}^o}}}{{\sin {{10}^o}}} \approx 22\;(m)\)

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

\(\sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}}\)\( \Rightarrow BH = AB.\,\,\sin \widehat {BAH}\)

Mà: \(AB \approx 22\;(m);\;\;\widehat {BAH} = {50^o}\)

\( \Rightarrow BH \approx 22.\sin {50^o} \approx 16,85\;(m)\)

Vậy chiều cao của tòa nhà là: \(BH-{\rm{ }}BC + 7 = 16,85-5 + 7 = 18,85{\rm{ }}\left( m \right)\)

Gọi AH là độ cao của ngọn hải đăng, BC là độ dài quãng đường con thuyền đi được giữa hai lần quan sát.

Theo đề, ta có: AH=120m; \(\widehat{B}=20^0;\widehat{C}=30^0\)

Xét ΔAHB vuông tại H có \(tanB=\dfrac{AH}{HB}\)

=>\(HB=\dfrac{120}{tan20}\simeq329,7\left(m\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có \(tanC=\dfrac{AH}{HC}\)

=>\(\dfrac{120}{HC}=tan30\)

=>\(HC=\dfrac{120}{tan30}\simeq207,85\left(m\right)\)

BC=BH+CH=329,7+207,85=537,55(m)

Vậy: Con thuyền đã được 537,55m giữa hai lần quan sát