Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\)

Tương tự: \(y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

\(x^2+y^2\ge2xy\)  \(y^2+z^2\ge2yz\) \(z^2+x^2\ge2zx\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=12\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

làm hơi tắt thông cảm

Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\)

Mà \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le x+y+z\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{3}{2}\)

nhầm sửa x = y = z = 1 nha

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số 

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)

Xét \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cacuchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)

\(\Rightarrow x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le2\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)

Ta có : \(x+y+z\ge3\)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{3}{2}\)

Vì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

ĐẶT \(X^2+Y^2+Z^2=A\)
\(3A+12=.......\)

ta có bđt phụ ,,,,,,,,  x²+y²+z² >= xy+yz+zx

thay vào thôi,,,cái bđt dễ cm mà,,,nhân 2 2 vế rồi dùng tương đương

Sửa đề : cm\(x^2+y^2+z^2\ge3\)

Theo bunhiacopxki ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2+x^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+yz\right|\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)(1)

Lại có : \(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)(Cauchy)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)(2)

Cộng vế với vế của (1) ; (2) ta có :

\(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(xy+yz+xz+x+x+z\right)=2.6=12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{12}{3}-1=3\)

Ta có: 
x2+y2>=2xy {1} 
y2+z2>=2yz {2} 
x2+z2>=2xz {3} 

cộng{1},{2}và{3}:2{x2+y2+z2}>=2{xy+yz+... 
x2+y2+z2>=xy+yz+xz 
ta có:x+y+z+xy+yz+xz=6 
xy+yz+xz=6-{x+y+z} 
để cho bđt có nghĩ khi và chỉ khi:x=y=z=1 
suy ra:x+y+z=3 
vậy:x2+y2+z2>=6-{x+y+z} 
x2+y2+z2>=3

áp dụng BĐT (a - b)² ≥ 0 → a² + b² ≥ 2ab ta có: 
x² + y² ≥ 2xy 
x² + 1 ≥ 2x 
y² + z² ≥ 2yz 
y² + 1 ≥ 2y 
z² + x² ≥ 2xz 
z² + 1 ≥ 2z 
Cộng theo vế → 3(x² + y² + z²) + 3 ≥ 2(x + y + z + xy + yz + zx) = 2.6 = 12 
→ x² + y² + z² ≥ 9/3 = 3 

Ta có \(xy+xz+yz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(\Rightarrow x+y+z+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge6\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-18\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z+6\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)

\(\Rightarrow x+y+z-3\ge0\) (do \(x+y+z+6>0\))

\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{3^2}{3}=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

//Hoặc cách khác sử dụng AM-GM:

\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\); \(z^2+1\ge2z\);

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)

Cộng vế với vế của 4 BĐT trên ta có:

\(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}>=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}\)

\(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}>=\sqrt{\dfrac{3}{yz}}\)

\(\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}>=\sqrt{\dfrac{3}{xz}}\)

=>\(VT>=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)=3\sqrt{3}\)