Câu hỏi của Nguyễn Thanh Hiền

Question

Cho $x,y,z\in R$ thỏa mãn $x+y+z+xy+yz+xz=6$

Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2\ge3$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Ta có $xy+xz+yz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}$

$\Rightarrow x+y+z+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge6$

$\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-18\ge0$

$\Rightarrow\left(x+y+z+6\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0$

$\Rightarrow x+y+z-3\ge0$ (do $x+y+z+6>0$)

$\Rightarrow x+y+z\ge3$

$x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{3^2}{3}=3$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

//Hoặc cách khác sử dụng AM-GM:

$x^2+1\ge2x$ ; $y^2+1\ge2y$; $z^2+1\ge2z$;

$x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz$

Cộng vế với vế của 4 BĐT trên ta có:

$3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12$

$\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$Câu trả lời: Ta có $xy+xz+yz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}$

$\Rightarrow x+y+z+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge6$

$\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-18\ge0$

$\Rightarrow\left(x+y+z+6\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0$

$\Rightarrow x+y+z-3\ge0$ (do $x+y+z+6>0$)

$\Rightarrow x+y+z\ge3$

$x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{3^2}{3}=3$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

//Hoặc cách khác sử dụng AM-GM:

$x^2+1\ge2x$ ; $y^2+1\ge2y$; $z^2+1\ge2z$;

$x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz$

Cộng vế với vế của 4 BĐT trên ta có:

$3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12$

$\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Violympic toán 8