Question

Cho x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z+xy+yz+xz=6 . GTNN của P = x² + y² + z² ?

Answer 1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)

\(y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\)

\(z^2+x^2\ge2\sqrt{z^2x^2}=2zx\)

\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\)

\(y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\)

\(z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(xy+yz+xz+x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\cdot6=12\left(xy+yz+xz+x+y+z=6\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\Leftrightarrow P\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Vậy \(P_{Min}=3\) khi \(x=y=z=1\)

Answer 2

kq là 3 BĐT