Question

Cho ba số x,y,z thỏa mãn \(x+y+z+xy+yz+xz=6\)

Chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge3\)

Answer 1

Ta có: \(x^2+1\ge2x\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\)

Tương tự cũng có 2 BĐT còn lại:

\(y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

Và \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Khi x=y=z=1

Answer 2

đây là phương pháp già vậy ạ

Answer 3

Đây là phương pháp gì vậy ạ

Answer 4

Đơn giản, chỉ cần đánh giá 2 lần là ra

Sử dụng AM-GM, ta có

(x+y+z)2≤3(x2+y2+z2)=>x+y+z≤√3(x2+y2+z2)(x+y+z)2≤3(x2+y2+z2)=>x+y+z≤3(x2+y2+z2)

xy+yz+xz≤x2+y2+z2xy+yz+xz≤x2+y2+z2

Cộng theo vế, ta được

6=x+y+z+xy+yz+xz≤√3(x2+y2+z2)+x2+y2+z26=x+y+z+xy+yz+xz≤3(x2+y2+z2)+x2+y2+z2

Suy ra x2+y2+z2≥3x2+y2+z2≥3 

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=1