Lời giải:

Nếu $m=1$ thì $(d): y=-2$ cách $O$ một khoảng $d=2$

Nếu $m=2$ thì $(d): x=1$ cách $O$ một khoảng $d=1$

Nếu $m\neq 1;2$:
Gọi $A$ và $B$ là giao điểm của $(d)$ với trục $Ox, Oy$

$y_A=0\Rightarrow x_A=\frac{1}{m-1}$

$x_B=0\Rightarrow y_B=\frac{2}{m-2}$

Gọi khoảng cách từ $O$ đến (d) là $h$ thì theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}\) \(=(m-1)^2+(\frac{m-2}{2})^2\)

Để $h_{\max}$ thì $\frac{1}{h^2}$ min hay $(m-1)^2+(\frac{m-2}{2})^2$ min

Dễ thấy:

\((m-1)^2+(\frac{m-2}{2})^2=\frac{3}{2}m^2-4m+3\) \(=\frac{3}{2}(m-\frac{4}{3})^2+\frac{1}{3}\) đạt min khi $m=\frac{4}{3}$

Khi đó $h=\sqrt{3}$

Thông qua các TH trên thì thấy $m=1$ thì thỏa đề.

\(\left(d\right)\text{//}\left(d;\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1=\dfrac{1}{m-1}\\4\ne m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)^2=1\\m\ne2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=0\)

PT giao Ox: \(y=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{4}{m-1}\Leftrightarrow A\left(-\dfrac{4}{m-1};0\right)\Leftrightarrow OA=\dfrac{4}{\left|m-1\right|}\)

PT giao Oy: \(x=0\Leftrightarrow y=4\Leftrightarrow B\left(0;4\right)\Leftrightarrow OB=4\)

\(S_{AOB}=2\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=2\Leftrightarrow OA\cdot OB=4\\ \Leftrightarrow\dfrac{4}{\left|m-1\right|}\cdot4=4\\ \Leftrightarrow\left|m-1\right|=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{5}{4}\\m=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

a) Vô nghiệm

b) vô nghiệm

c)m=0

d)m=0

a, thay \(x=1,y=2\) vào (d) (\(m\ne\dfrac{2}{3}\))

\(=>\left(3m-2\right).1+m-1=2< =>m=1,25\left(tm\right)\)

b, (d) tạo với Ox 1 góc tù \(< =>3m-2< 0< =>m< \dfrac{2}{3}\)

c,\(=>x=y=0\)

\(=>m-1=0< =>m=1\)

a. d qua gốc tọa độ khi:

\(m-2=0\Rightarrow m=2\)

b. d cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1/3 khi:

\(m-2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow m=\dfrac{7}{3}\)

c. d qua A khi:

\(2\left(1-4m\right)+m-2=-3\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{3}{7}\)

b: Để (d)//(d') thì m+3=4

hay m=1

\(a,d//d_1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2=-2\\m\ne3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-4\\ b,d\perp d_2\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\left(m+2\right)=-1\Leftrightarrow m+2=-3\Leftrightarrow m=-5\\ c,d.qua.N\left(1;3\right)\Leftrightarrow x=1;y=3\Leftrightarrow3=m+2+m\\ \Leftrightarrow2m=1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(d,\) Gọi điểm đó là \(A\left(x_1;y_1\right)\)

\(\Leftrightarrow y_1=\left(m+2\right)x_1+m\\ \Leftrightarrow y_1-mx_1-2x_1-m=0\\ \Leftrightarrow-m\left(x_1+1\right)+y_1-2x_1=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1=0\\y_1-2x_1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\y_1=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A\left(-1;-2\right)\) luôn đi qua D với mọi m