Cho hình thang ABCD (AB // CD), gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng: OM = ON
Cho hình thang ABCD (AB // CD); hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh OM = ON
Ta có: MN // AB (gt); AB // CD(gt) => MN // AB // CD
Xét tam giác ABC có: OM // AB (MN // AB)
=> \(\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{CM}{CA}\) (hệ quả định lý Ta lét trong tam giác) (1)
Xét tam giác ABD có: ON // AB (MN // AB)
=> \(\dfrac{ON}{AB}=\dfrac{DN}{DB}\) (hệ quả định lý Ta lét trong tam giác) (2)
Xét hình thang ABCD có: MN // AB // CD (cmt)
=> \(\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{DN}{DB}\) (định lý Ta lét trong hình thang) (3)
Từ (1) (2) (3) => OM = ON
Trong ∆DAB có: \(\dfrac{MO}{AB}=\dfrac{DO}{DB}\) ( hệ quả Ta lét) (1)
Trong ∆CAB có: \(\dfrac{NO}{AB}=\dfrac{CO}{AC}\) ( hệ quả Ta lét) (2)
Trong ∆OAB có: \(\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{DO}{DB}\) ( hệ quả Ta lét) (3)
từ (1), (2), (3) => \(\dfrac{MO}{AB}=\dfrac{NO}{AB}\) =>\(MO=NO\)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh: a) OM = ON; b) 1/AB + 1/CD + 2/MN
tham khảo :
https://lazi.vn/edu/exercise/582904/cho-hinh-thang-abcd-ab-cd-cheo-cat-nhau-tai-o-p
Gọi O là giao điểm của các đường thẳng chứa 2 cạnh bên AD và BC của hình thang ABCD. Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt các đường thẳng AC,BD lần lượt ở M,N. Chứng minh OM=ON
Xét ΔODC có AB//DC
nên \(\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}\) và \(\dfrac{AO}{AD}=\dfrac{BO}{BC}\)(1)
Xét ΔAOM và ΔADC có
\(\widehat{AOM}=\widehat{ADC}\)
\(\widehat{OAM}=\widehat{DAC}\)
Do đó: ΔAOM~ΔADC
=>\(\dfrac{OM}{DC}=\dfrac{AO}{AD}\)(2)
Xét ΔBON và ΔBCD có
\(\widehat{BON}=\widehat{BCD}\)
\(\widehat{OBN}=\widehat{CBD}\)
Do đó: ΔBON~ΔBCD
=>\(\dfrac{BO}{BC}=\dfrac{ON}{CD}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OM}{CD}=\dfrac{ON}{CD}\)
=>OM=ON
Cho hình thang ABCD (AB//CD; AB<CD). Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD, BC tại M,N
a, chứng minh OA.OD=OB.OC
b, biết AB=5cm; CD=10cm; OC=6cm. Tính OA,OM
c, chứng minh 1/OM = 1/ON = 1/AB + 1/ CD
c. -Xét △ADC có: OM//DC (gt).
\(\Rightarrow\dfrac{MO}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\) (định lí Ta-let).
\(\Rightarrow\dfrac{DC}{MO}=\dfrac{AC}{AO}\)
\(\Rightarrow\dfrac{DC}{OM}-1=\dfrac{OC}{AO}\) (1).
-Xét △BDC có: ON//DC (gt).
\(\Rightarrow\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\) (định lí Ta-let).
\(\Rightarrow\dfrac{DC}{ON}=\dfrac{BD}{BO}\)
\(\Rightarrow\dfrac{DC}{ON}-1=\dfrac{OD}{BO}\)
-Xét △ABO có: AB//DC (gt).
\(\Rightarrow\dfrac{OD}{BO}=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{DC}{AB}\) (3)
-Từ (1), (2),(3) suy ra:
\(\dfrac{DC}{OM}-1=\dfrac{DC}{ON}-1=\dfrac{DC}{AB}\)
\(\Rightarrow\dfrac{DC}{OM}=\dfrac{DC}{ON}=\dfrac{DC}{AB}+1=\dfrac{AB+DC}{AB}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{OM}=\dfrac{1}{ON}=\dfrac{AB+DC}{AB.DC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}\)
a: Xét ΔAOB và ΔCOD có
\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)
\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)
Do đó: ΔAOB∼ΔCOD
Suy ra: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}\)
hay \(OA\cdot OD=OB\cdot OC\)
b: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}\)
\(\Leftrightarrow OA=\dfrac{1}{2}\cdot6=3\left(cm\right)\)
Bài 2:
Xét ΔADC có OM//DC
nen OM/DC=AM/AD(1)
Xét ΔBDC có ON//DC
nên ON/DC=BN/BC(2)
Xét hình thag ABCD có MN//AB//CD
nên AM/AD=BN/BC(3)
Từ (1) (2)và (3) suy ra OM=ON
cho hình thang ABCD( AB//CD và AB<CD) . gọi O là giao điểm 2 cạnh bên AD và BC. Qua O kẻ đường thẳng song song với 2 cạnh đáy, đường thẳng này cắt Ac tại M, cắt BD tại N. Chừng minh rằng OM=ON
Bài 2:
Xét ΔADC có OM//DC
nen OM/DC=AM/AD(1)
Xét ΔBDC có ON//DC
nên ON/DC=BN/BC(2)
Xét hình thag ABCD có MN//AB//CD
nên AM/AD=BN/BC(3)
Từ (1) (2)và (3) suy ra OM=ON
Bài 7 (2) :Cho hình thang ABCD (AB//CD) ; hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N . Chứng minh OM = ON
Xét △ADC có :MO // DC
\(\Rightarrow\frac{MO}{DC}=\frac{AO}{AC}\)(Hệ quả định lí Thales) (1)
Xét △BDC có : ON // DC
\(\Rightarrow\frac{NO}{DC}=\frac{BO}{BD}\)(Hệ quả định lí Thales) (2)
Xét △ODC có AB // DC
\(\Rightarrow\frac{AO}{AC}=\frac{BO}{BD}\)(Theo hệ quả định lí Thales) (3)
Từ (1) ; (2) và (3) :
\(\Rightarrow\frac{OM}{CD}=\frac{ON}{CD}\)
\(\Rightarrow OM=ON\left(ĐPCM\right)\)