Vì \(\Delta{MNP}=\Delta{DEF}\) 

\( \Rightarrow DE = MN;EF = NP;DF = MP\) (các cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow NP = 6cm\)

\( \Rightarrow \) Chu vi tam giác MNP là:

C = MN + MP + NP = 4 + 5 + 6 = 15 (cm)

a)

Xét tam giác MPK có:

\(\widehat {PKM} + \widehat {MPK} + \widehat {KMP} = {180^o}\)

Xét tam giác NPK có:

\(\widehat {PKN} + \widehat {NPK} + \widehat {KNP} = {180^o}\)

Mà \(\widehat {KMP} = \widehat {KNP};\,\,\,\widehat {MPK} = \widehat {NPK}\)

Suy ra \(\widehat {MKP} = \widehat {NKP}\).

b)Xét hai tam giác MPK và NPK có:

\(\widehat {MPK} = \widehat {NPK}\)

PK chung

\(\widehat {MKP} = \widehat {NKP}\)

=>\(\Delta MPK = \Delta NPK\)(g.c.g)

c) Do \(\Delta MPK = \Delta NPK\) nên MP=NP (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác MNP cân tại P.

Xét ΔABC vuông tại A và ΔMNP vuông tại M có

AB=MN

BC=NP

Do đo: ΔABC=ΔMNP

Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) nên:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{CA}}{{PM}}\\ \Rightarrow \frac{4}{5} = \frac{6}{{NP}} = \frac{5}{{PM}}\\ \Rightarrow NP = \frac{{15}}{2};\,\,PM = \frac{{25}}{4}\end{array}\)

Ta có: \(\Delta MNP=\Delta NPM\left(gt\right)\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}MN=NP\\NP=PM\\MP=NM\end{matrix}\right.\) (các cạnh tương ứng).

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{M}=\widehat{N}\\\widehat{N}=\widehat{P}\\\widehat{P}=\widehat{M}\end{matrix}\right.\) (các góc tương ứng).

Chúc bạn học tốt!

a: Xét ΔMNP có

D là trung điểm của NP

E là trung điểm của PM

Do đó: DE là đường trung bình

=>DE//MN và DE=MN/2

=>DE//MF và DE=MF

=>MEDF là hình bình hành

Suy ra: MD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của MD và FE

b: XétΔDEF và ΔMFE có

DE=MF

EF chung

DF=ME

Do đó: ΔDEF=ΔMFE

Xét ΔMNP có 

F là trung điểm của MN

E là trung điểm của MP

Do đó:FE là đường trung bình

=>FE//NP

=>ΔMFE đồng dạng với ΔMNP

\(\Leftrightarrow C_{MNP}=\dfrac{MF}{MN}\cdot C_{MFE}=2\cdot C_{DEF}=24\left(cm\right)\)

Cách 1: 

Xét ΔMNP có : 

PM = PN ( gt ) 

⇒ ΔMNP cân.

⇒ ^PMN = ^PNM ( t/c Δcân )

Cách 2: 

Từ P kẻ PI là phân giác ^MPN

Vì ΔMPN cân (PM = PN)

=> PI là phân giác đồng thời là trung trực

=> IM = IN

Xét ΔMPI và ΔNPI có:

   PM = PN (gt)

   P₁ = P₂ (PI là pg)

   PI cạnh chung

=> ΔMPI = ΔNPI (c.g.c)

=> ^PMN = ^PNM ( 2 góc tg ứng)

Cách 1: Vẽ PA là tia phân giác của \(\widehat{P}\)

Xét  \(\Delta PMA\)và \(\Delta PNA\)có:

PM=PN (gt)

\(\widehat{MPA}\)=\(\widehat{NPA}\)(vì PA là tia phân giác của \(\widehat{P}\))

PA là cạnh chung

=>\(\Delta MPA=\Delta NPA\)(c.g.c)

=>\(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}\)(hai góc tương ứng)

Cách 2: Vẽ A là trung điểm của MN

Xét \(\Delta PMA\)và \(\Delta PNA\)có:

MP=NP (gt)

MA=NA (vì A là trung điểm của MN)

PA là cạnh chung

=>\(\Delta PMA=\Delta PNA\)(c.c.c)

=>\(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}\)(hai góc tương ứng)

Vậy .....

a) Tam giác ABC tại A nên \(\widehat B = \widehat C\) (1)

Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) nên \(\widehat A = \widehat M{;^{}}\widehat B = \widehat N{;^{}}\widehat C = \widehat P\) (2)

Từ (1) và (2) nên \(\widehat N = \widehat P\) suy ra tam giác MNP cân tại M.

b) Vì tam giác ABC là tam giác đều nên \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^o}\)(3)

Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) nên \(\widehat A = \widehat M{;^{}}\widehat B = \widehat N{;^{}}\widehat C = \widehat P\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat M = \widehat N = \widehat P = {60^o}\) nên tam giác MNP là tam giác đều.

c) Vì tam giác ABC có  \(AB \ge AC \ge BC\) suy ra \(\widehat C \ge \widehat B \ge \widehat A\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối điện) (5)

Mà \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) nên \(\widehat A = \widehat M{;^{}}\widehat B = \widehat N{;^{}}\widehat C = \widehat P\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat P \ge \widehat N \ge \widehat M\) nên \(MN \ge MP \ge NP\)