a) \(AB^2+CD^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=\left(OA^2+OD^2\right)+\left(OB^2+OC^2\right)=AD^2+BC^2\)b) -Áp dụng định lí:

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng 1 nửa cạnh huyền.

\(OM+ON+OP+OQ=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}BC+\dfrac{1}{2}CD+\dfrac{1}{2}DA=\dfrac{1}{2}\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

Ta có: BA = BC (gt). Suy ra điểm B thuộc đường trung trực của AC.

Lại có: DA = DC (gt). Suy ra điểm D thuộc đường trung trực của AC.

Vì B và D là 2 điểm phân biệt cùng thuộc đường trung trực của AC nên đường thẳng BD là đường trung trực của AC.

Từ \(2\overrightarrow{ỊJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\) suy ra 

\(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4IJ^2\Leftrightarrow CB^2+DA^2=CA^2+DB^2+2AB^2.CD^2\)

                                                \(\Leftrightarrow2.\overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD}=AD^2-AC^2+BC^2-BD^2\)

Ta có : AB=BC

=> B thuộc đường trung trực của AC (1)

Ta có : AD=DC

=>D thuộc đường trung trực của AC (2)

(1)(2)=> BD là đường trung trực của AC

Ta có: AB=AD(GT)

SUY RA: A thuộc trung trực của BD(1) tính chất đg trung trực

CB=CD(GT)

SUY RA: C thuộc trung trực của BD(2)

từ (1)(2) suy ra AC là trung trực của BD

chắc 100%

1:

ΔOAB vuông tại O

=>AB^2=AO^2+BO^2

ΔBOC vuông tại O

=>BC^2=BO^2+CO^2

ΔAOD vuông tại O

=>AD^2=AO^2+DO^2

ΔDOC vuông tại O

=>DC^2=OC^2+OD^2

AB^2+BC^2+CD^2+DA^2

=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2+OA^2+OB^2+OC^2+OD^2

=2(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2)

2:

AB^2+CD^2

=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2

=OA^2+OD^2+OB^2+OC^2

=AD^2+BC^2

bài này khá dễ , áp dụng đường trung bình trong tam giác , sau đó áp dụng giả thiết AC = BD

Xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}=\sqrt{d}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{d}}\) và \(\frac{1}{1+ab+bc+ac}\le\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}\)

Tương tự : \(\frac{1}{1+bc+cd+da}\le\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}\)

\(\frac{1}{1+cd+da+ac}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}\)

\(\frac{1}{1+da+ab+bd}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}\)

Cộng theo vế ta được đpcm.

Câu này dễ mà.Mình học lớp 7 mà mình còn biết nữa đó.Chắc bạn thắc mắc là vì sao mình học lớp 7 mà mình biết bài lớp 8 đúng không.Tại vì mình có thi học sinh giỏi và đạt giải nhì vòng trường lớp 6 luôn đấy,thấy mình giỏi không.

Phùng Minh Quân bạn tự tin quá đó

thách mày giải :)