Để tìm số giá trị nguyên của m trong khoảng [-10;10] sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = -x^4 + 4x - m trên đoạn [-1;3] nhỏ hơn 10, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = -x^4 + 4x - m trên đoạn [-1;3].

2. Kiểm tra xem giá trị lớn nhất của hàm số có nhỏ hơn 10 hay không.

3. Đếm số giá trị nguyên của m trong khoảng [-10;10] thỏa mãn điều kiện trên.

Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = -x^4 + 4x - m trên đoạn [-1;3].

Để tìm giá trị lớn nhất, chúng ta có thể lấy đạo hàm của hàm số và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

y' = -4x^3 + 4

Để tìm giá trị của x khi đạo hàm bằng 0, giải phương trình:

-4x^3 + 4 = 0

X^3 - 1 = 0

( x - 1)( x^2 + x + 1) = 0

Phương trình có 2 nghiệm: x = 1 và x^2 + x + 1 =0 (phương trình bậc 2).

Bước 2: Kiểm tra giá trị lớn nhất của hàm số có nhỏ hơn 10 hay không.

Để kiểm tra giá trị lớn nhất của hàm số, chúng ta có thể thay x = 1 vào hàm số:

y = - 1^4(1) - m = 3 - m

Điều kiện y < 10:

3 - m < 10

- m < 7

m > -7

Bước 3: Đếm số giá trị nguyên của m trong khoảng [-10;10] thỏa mãn điều kiện trên.

Trong khoảng [-10;10], có 17 giá trị nguyên. Tuy nhiên, chúng ta chỉ quan tâm đến các giá trị m > -7.

Vậy, có 17 - 7 = 10 giá trị nguyên của m trong khoảng [-10;10] thỏa mãn điều kiện y < 10.

Nếu  m = 0  thì phương trình trở thành  1 = 0 : vô nghiệm.

Khi  m ≠ 0 , phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

∆ = m 2 - 4 m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0 m ≥ 4

Kết hợp điều kiện  m ≠ 0 , ta được  m < 0 m ≥ 4

Mà m ∈ Z và m ∈ [−10; 10] ⇒ m ∈ {−10; −9; −8;...; −1} ∪ {4; 5; 6;...; 10}.

Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Chọn D.

Phương pháp: Biện luận nghiệm của phương trình theo m.

Cách giải: Ta có:

Đáp án D.

Đặt

f x = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 → f ' x = 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x ,    ∀ x   ∈ ℝ .

Khi đó y = f x + m ⇒ y ' = f ' x . f x + m f x + m .  

Phương trình  y ' = 0 ⇔ f ' x = 0 f ' x = − m     ( * )

Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị

⇔ y ' = 0  có 7 nghiệm phân biệt.

Mà f ' x = 0  có 3 nghiệm phân biệt

⇒ f x = − m  có 4 nghiệm phân biệt.

Dựa vào BBT hàm số f x ,  đẻ (*) có 4 nghiệm phân biệt

⇔ − 5 < − m < 0 ⇔ m ∈ 0 ; 5 .

Kết hợp với m ∈ ℤ  suy ra có tất cả 4 giá trị nguyên cần tìm.

Đáp án D

Dựa vào BBT để hàm số  y = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m  có 7 điểm cực trị thì: