a: MB là tiếp tuyến của (O), B là tiếp điểm

nên MB\(\perp\)BO tại B

=>ΔBOM vuông tại B

b:

ΔOBH vuông tại H

=>\(BH^2+HO^2=BO^2\)

=>\(BH^2=5^2-3^2=16\)

=>BH=4(cm)

Xét ΔOBM vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OB^2\)

=>\(OM=\dfrac{5^2}{3}=\dfrac{25}{3}\left(cm\right)\)

 ΔOBM vuông tại B

=>\(OB^2+BM^2=OM^2\)

=>\(BM^2+5^2=\left(\dfrac{25}{3}\right)^2\)

=>\(BM^2=\dfrac{625}{9}-25=\dfrac{400}{9}\)

=>BM=20/3(cm)

c: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của \(\widehat{BOC}\)

Xét ΔOBM và ΔOCM có

OB=OC

\(\widehat{BOM}=\widehat{COM}\)

OM chung

Do đó: ΔOBM=ΔOCM

=>\(\widehat{OBM}=\widehat{OCM}=90^0\)

=>MC là tiếp tuyến của (O)

d: Xét tứ giác OBMC có

\(\widehat{OBM}+\widehat{OCM}=90^0+90^0=180^0\)

=>OBMC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM

Tâm là trung điểm của OM

Lời giải:

a.

$OB=OC$ nên tam giác $OBC$ cân

Do đó đường cao $OH$ đồng thời là trung tuyến hay $H$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow BH=4$ (cm)

Do $BA$ là tiếp tuyến $(O)\Rightarrow BA\perp BO$

Áp dụng HTL trong tam giác vuông với tam giác $ABO$:

$\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BO^2}=\frac{1}{BH^2}$

$\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{5^2}=\frac{1}{4^2}$

$\Rightarrow AB=\frac{20}{3}$ (cm)

$AO=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{(\frac{20}{3})^2+5^2}=\frac{25}{3}$ (cm)

b.

Vì $AO$ cắt $BC$ tại trung điểm $H$ của $BC$ và $AO\perp BC$ nên $AO$ là đường trung trực của $BC$

$\Rightarrow AC=AB$. Mà $OB=OC$ nên:

Do đó $\triangle ACO=\triangle ABO$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{ACO}=\widehat{ABO}=90^0$

$\Rightarrow AC\perp CO$ nên $AC$ là tiếp tuyến $(O)$

$AC=AB=\frac{20}{3}$ (cm)

Hình vẽ:

Lời giải:

a. $M$ là trung điểm của $OA$ nên $MO = \frac{1}{2}R$

Tam giác vuông $BMO$ có:

$\sin \widehat{MBO}=\frac{MO}{BO}=\frac{0,5R}{R}=0,5$

$\Rightarrow \widehat{MBO}=30^0$

$\widehat{EBC}=\widehat{EBO}-\widehat{MBO}=90^0-30^0=60^0$

b.

Ta có:$\widehat{BOE}=\widehat{BOM}=90^0-\widehat{MBO}=90^0-30^0=60^0$

Xét tam giác vuông $EBO$ có:

$\frac{BE}{BO}=\tan \widehat{BOE}=\tan 60^0=\sqrt{3}$

$\Rightarrow BE=\sqrt{3}BO=\sqrt{3}R$

Hình vẽ:

a: Xét ΔOEA vuông tại E có EM là đường cao

nên \(OM\cdot OA=OE^2\)

=>\(OA=\dfrac{10^2}{6}=\dfrac{50}{3}\left(cm\right)\)

ΔOEA vuông tại E

=>\(OE^2+EA^2=OA^2\)

=>\(EA^2+10^2=\left(\dfrac{50}{3}\right)^2\)

=>\(EA^2=\left(\dfrac{40}{3}\right)^2\)

=>EA=40/3(cm)

Xét ΔEAO vuông tại E có EM là đường cao

nên \(EM\cdot OA=EA\cdot EO\)

=>\(EM\cdot\dfrac{50}{3}=10\cdot\dfrac{40}{3}\)

=>\(EM\cdot50=10\cdot40\)

=>EM=400/50=8(cm)

Ta có: ΔOEF cân tại O

mà OM là đường cao

nên M là trung điểm của EF và OM là phân giác của góc EOF

=>\(EF=2\cdot EM=16\left(cm\right)\)

b: Xét ΔOEA và ΔOFA có

OE=OF
\(\widehat{EOA}=\widehat{FOA}\)

OA chung

Do đó: ΔOEA=ΔOFA

=>\(\widehat{OEA}=\widehat{OFA}=90^0\)

=>AFlà tiếp tuyến của (O)

c: Xét (O) có

ΔEFC nội tiếp

EC là đường kính

Do đó: ΔEFC vuông tại F

=>EF\(\perp\)FC tại F

=>CF\(\perp\)ED tại F

Xét ΔECD vuông tại C có EF là đường cao

nên \(EF\cdot ED=EC^2\)

=>\(2\cdot EM\cdot ED=\left(2R\right)^2=4R^2\)

=>\(EM\cdot ED=2R^2\)