Áp dụng bđt cosi schwart ta có:

`VT>=(a+b+c)^2/(a+b+c+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca})`

Dễ thấy `sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}<a+b+c`

`=>VT>=(a+b+c)^2/(2(a+b+c))=(a+b+c)/2=3`

Dấu "=" `<=>a=b=c=1.`

Cái này không khó :v

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:

\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{a+c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Face khác ;v, theo AM-GM, ta có

\(\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2

Ta có :

\(\frac{a^2}{a+b}=\frac{a^2+ab-ab}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}\le a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)(1)

Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{b+c}\le b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\\\frac{c^2}{a+c}\le c-\frac{\sqrt{ac}}{2}\end{cases}}\)(2)

Nhhan (1);(2) lại ta được

 \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\ge a+b+c-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2}=a+b+c-3\)

Ta lại có : \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{bc}=6\) (tự cm)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\ge6-3=3\)(đpcm)

chế gì ơi mình kết bạn với nhau được không?

mấy dấu bên trên là \(\ge\) nha mình viết nhầm

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\)

Vì a,b,c là các số dương \(\Rightarrow\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.\left(a+b\right)\)

Tương tự và cộng lại, ta có:

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2a^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)\(\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.\left(a+b+c\right)\) \(=3\sqrt{5}\)

\(''=''\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(\text{Ta có }:a^2+ab+b^2=\left(a^2+2ab+b^2\right)-ab\\ =\left(a+b\right)^2-ab\overset{BĐT\text{ }Cô-si}{\le}\left(a+b\right)^2-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự : \(\sqrt{b^2+bc+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)\)

\(\sqrt{a^2+ac+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+c\right)\\ \Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}\\ \le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+c\right)\\= \frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Xin lỗi bạn nha. Tại mk không để ý.

Ta có: \(VT=\sqrt{2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2-ab+b^2\right)\left(c^2-bc+b^2\right)}}\)

\(\ge\sqrt{a^2+b^2+c^2+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left[\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right]\left[\left(c-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right]}}\)

\(\ge\sqrt{a^2+b^2+c^2+2\left[\Sigma_{cyc}\left(a-\frac{b}{2}\right)\left(c-\frac{b}{2}\right)+\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]}\) (áp dụng bđt Bunyakovski)

\(=\sqrt{\frac{5}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(=\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=3^{\left(đpcm\right)}\)

Is that true?

_{Mà hình như anh DƯƠNG lộn dấu khúc đầu thì phải ạ?}

Bài giải của DƯƠNG bị ngược dấu trong đánh giá cuối nên coi như sai cả bài.

Cách tiếp cận nhẹ nhàng hơn:

Ta thấy:

\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2)+\frac{3}{4}(a^2-2ab+b^2)\)

\(=\frac{1}{4}(a+b)^2+\frac{3}{4}(a-b)^2\geq \frac{1}{4}(a+b)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{a^2-ab+b^2}\geq \frac{a+b}{2}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\sqrt{b^2-bc+c^2}\geq \frac{b+c}{2}; \sqrt{c^2-ca+a^2}\geq \frac{c+a}{2}\)

Cộng theo vế các BĐT trên thu được:

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\geq a+b+c=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Ta có BĐT sau : \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=3\)

Trở lại bài toán ta có :

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{ab}\)

Tương tự như trên ta lại có :

\(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\sqrt{bc}\)

\(\sqrt{c^2-2ca+a^2}\ge\sqrt{ca}\)

Cộng vế theo vế :

\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=3\)

\(\RightarrowĐPCM\) . Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)