Question

Cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=3

Chứng minh rằng :

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+ac^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge3\sqrt{5}\)

Answer 1

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\)

Vì a,b,c là các số dương \(\Rightarrow\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.\left(a+b\right)\)

Tương tự và cộng lại, ta có:

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2a^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)\(\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.\left(a+b+c\right)\) \(=3\sqrt{5}\)

\(''=''\Leftrightarrow a=b=c=1\)