Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trịnh Thị Nhung

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1.

Chứng minh: \(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\sqrt{5}\)

Akai Haruma
1 tháng 12 2019 lúc 1:04

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM dạng $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$ ta có:

\(2a^2+ab+2b^2=\frac{4a^2+2ab+4b^2}{2}=\frac{(a+b)^2+3(a^2+b^2)}{2}\geq \frac{(a+b)^2+\frac{3}{2}(a+b)^2}{2}=\frac{5}{4}(a+b)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{2a^2+ab+2b^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(a+b)\)

Hoàn toàn tương tự:

\( \sqrt{2b^2+bc+2c^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(b+c); \sqrt{2c^2+ac+2a^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(a+c)\)

Cộng theo vế:

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\geq \sqrt{5}(a+b+c)=\sqrt{5}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Vũ Nguyễn Linh Chi
Xem chi tiết
Trần Thiện
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Trần Phương Thảo
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
GG boylee
Xem chi tiết
Duyen Đao
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết