Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Lê Thành Tín

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=3

Chứng minh rằng \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge3\)

tthnew
27 tháng 10 2019 lúc 8:54

Ta có: \(VT=\sqrt{2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2-ab+b^2\right)\left(c^2-bc+b^2\right)}}\)

\(\ge\sqrt{a^2+b^2+c^2+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left[\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right]\left[\left(c-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right]}}\)

\(\ge\sqrt{a^2+b^2+c^2+2\left[\Sigma_{cyc}\left(a-\frac{b}{2}\right)\left(c-\frac{b}{2}\right)+\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]}\) (áp dụng bđt Bunyakovski)

\(=\sqrt{\frac{5}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(=\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=3^{\left(đpcm\right)}\)

Is that true?

Mà hình như anh DƯƠNG lộn dấu khúc đầu thì phải ạ?

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
28 tháng 10 2019 lúc 19:38

Bài giải của DƯƠNG bị ngược dấu trong đánh giá cuối nên coi như sai cả bài.

Cách tiếp cận nhẹ nhàng hơn:

Ta thấy:

\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2)+\frac{3}{4}(a^2-2ab+b^2)\)

\(=\frac{1}{4}(a+b)^2+\frac{3}{4}(a-b)^2\geq \frac{1}{4}(a+b)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{a^2-ab+b^2}\geq \frac{a+b}{2}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\sqrt{b^2-bc+c^2}\geq \frac{b+c}{2}; \sqrt{c^2-ca+a^2}\geq \frac{c+a}{2}\)

Cộng theo vế các BĐT trên thu được:

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\geq a+b+c=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Khách vãng lai đã xóa
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
17 tháng 10 2018 lúc 18:35

Ta có BĐT sau : \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=3\)

Trở lại bài toán ta có :

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{ab}\)

Tương tự như trên ta lại có :

\(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\sqrt{bc}\)

\(\sqrt{c^2-2ca+a^2}\ge\sqrt{ca}\)

Cộng vế theo vế :

\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=3\)

\(\RightarrowĐPCM\) . Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Huyền
Xem chi tiết
Vũ Nguyễn Linh Chi
Xem chi tiết
Sendaris Thalleous
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến Nga
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Nguyễn Kim Hoàng Anh
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết