Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Yến Nga

Cho các số thực dương a, b, c > 0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)

Chứng minh rằng \(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le1\)

Lê Gia Bảo
29 tháng 11 2019 lúc 20:29

Áp dụng BĐT: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)

\(\Rightarrow0\le a+b+c\le3\) ( vì a,b,c > 0 ) (Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.)

\(\Rightarrow0\le a+b\le3-c\) (1)

Đặt \(A=\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}A=\frac{1}{8-2\sqrt{ab}}+\frac{1}{8-2\sqrt{bc}}+\frac{1}{8-2\sqrt{ca}}\)

Áp dụng Côsi cho hai số dương a, b ta được:

\(2\sqrt{ab}\le a+b\Rightarrow8-2\sqrt{ab}\ge8-\left(a+b\right)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Khách vãng lai đã xóa
Lê Gia Bảo
29 tháng 11 2019 lúc 20:30

giải nhầm sorry

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Icarus Chune
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Nam
Xem chi tiết