F=x²=x+1

F=x²-x-1

F=(x²-2x.1/2+1/4)-5/4

F=(x-1/2)²-5/4

(x-1/2)²>= 0 với mọi x

(x-1/2)²-5/4>=5/4 với mọi x

F>=5/4 với mọi x

F min=5/4 với (x-1/2)²=0

x=1/2

\(E=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\ge-\frac{5}{4}\Rightarrow E_{min}=-\frac{5}{4}\) khi \(x=-\frac{3}{2}\)

\(F=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x^2+5x+4\right)+2\left(x^2+5x+4\right)+1-1\)

\(F=\left(x^2+5x+5\right)^2-1\ge-1\)

\(\Rightarrow E_{min}=-1\) khi \(x^2+5x+5=0\Rightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(M=\frac{2}{-4-\left(3x-1\right)^2}\ge\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}\Rightarrow M_{min}=-\frac{1}{2}\) khi \(x=\frac{1}{3}\)

\(P=\frac{x^2+2x+3}{x^2+2}\Rightarrow Px^2+2P=x^2+2x+3\)

\(\Rightarrow\left(P-1\right)x^2-2x+2P-3=0\)

\(\Delta'=1-\left(P-1\right)\left(2P-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2P^2+5P-2\ge0\Rightarrow\frac{1}{2}\le P\le2\)

\(\Rightarrow P_{max}=2\) khi \(x=1\)

\(P_{min}=\frac{1}{2}\) khi \(x=-2\)

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow tan^2x+cot^2x\ge2tanx.cotx=2\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=2\) khi \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)

Lời giải:
Ta có:
$(x+1)(x+2)^2(x+3)=[(x+1)(x+3)](x+2)^2=(x^2+4x+3)(x^2+4x+4)$

$=a(a+1)$ (đặt $x^2+4x+3=a$)

$=a^2+a=(a+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$

$=(x^2+4x+\frac{7}{2})^2-\frac{1}{4}\geq 0-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}$
Vậy gtnn của biểu thức là $\frac{-1}{4}$. Giá trị này đạt được khi $x^2+4x+\frac{7}{2}=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{2}}{2}$

a: \(f\left(x\right)=\left|x-5\right|-5>=-5\)

Dấu '=' xảy ra khi x=5

b: \(g\left(x\right)=\left|x+2018\right|+\left|-x-1\right|\)

\(\Leftrightarrow g\left(x\right)\ge x+2018-x-1=2017\)

Dấu '=' xảy ra khi x+2018>=0 và -x-1>=0

=>-2018<=x<=-1

a: \(f\left(x\right)=\left|x-5\right|-5>=-5\)

Dấu '=' xảy ra khi x=5

b: \(g\left(x\right)=\left|x+2018\right|+\left|-x-1\right|\ge2017\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x+2018>=0và -x-1>=0

=>-2018<=x<=-1