\(A=2+2^2+2^3+...+2^{2020}+2^{2021}+2^{2022}\\=(2+2^2)+(2^3+2^4)+(2^5+2^6)+...+(2^{2021}+2^{2022})\\=2\cdot(1+2)+2^3\cdot(1+2)+2^5\cdot(1+2)+...+2^{2021}\cdot(1+2)\\=2\cdot3+2^3\cdot3+2^5\cdot3+...+2^{2021}\cdot3\\=3\cdot(2+2^3+2^5+..+2^{2021})\)

Vì \(3\cdot\left(2+2^3+2^5+...+2^{2021}\right)⋮3\)

nên \(A⋮3\).

\(Toru\)

A=(2+2²)+2²(2+2²)+...+2²⁰²⁰(2+2²)

A= 6.1+2².6+...+2²⁰²⁰.6

A=6(1+2²+...+2²⁰²⁰) chia hết cho 3

vậy A chia hết cho 3

A=(2+2²)+(2³+2⁴)+(2⁵+2⁶)+.......+(2²⁰¹⁹+2²⁰²⁰)+(2²⁰²¹+2²⁰²²)

A=2.(1+2)+2³.(1+2)+2⁵.(1+2)+.......+2²⁰¹⁹.(1+2)+2²⁰²¹.(1+2)

A=2.3+2³.3+2⁵.3+.......+2²⁰¹⁹.3+2²⁰²¹.3

A=3.(2+2³+2⁵+........+2²⁰¹⁹+2²⁰²¹)

Vì 3⋮3⇒A⋮3

1/

Tổng A là tổng các số hạng cách đều nhau 4 đơn vị.

Số số hạng: $(101-1):4+1=26$

$A=(101+1)\times 26:2=1326$

2/

$B=(1+2+2^2)+(2^3+2^4+2^5)+(2^6+2^7+2^8)+(2^9+2^{10}+2^{11})$

$=(1+2+2^2)+2^3(1+2+2^2)+2^6(1+2+2^2)+2^9(1+2+2^2)$

$=(1+2+2^2)(1+2^3+2^6+2^9)$

$=7(1+2^3+2^6+2^9)\vdots 7$

3/
$C=1+2+2^2+2^3+...+2^{99}$

$2C=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}$

$\Rightarrow 2C-C=2^{100}-1$

$\Rightarrow C=2^{100}-1$

Bài 4:

$A+2=1+2+2^2+2^3+...+2^{11}$

$=(1+2)+(2^2+2^3)+....+(2^{10}+2^{11})$

$=(1+2)+2^2(1+2)+....+2^{10}(1+2)$

$=(1+2)(1+2^2+....+2^{10})$

$=3(1+2^2+...+2^{10})\vdots 3$

Vậy $A+2\vdots 3$ nên $A$ không chia hết cho $3$

Bài 5:

$n^2+n+1=n(n+1)+1$
Vì $n,n+1$ là hai số tự nhiên liên tiếp nên sẽ tồn tại một số chẵn và 1 số lẻ

$\Rightarrow n(n+1)$ chẵn 

$\Rightarrow n^2+n+1=n(n+1)+1$ lẻ (điều phải chứng minh) 

1, 

a, Ta có: A = 2 + 2² + 2³ +.......+ 2¹⁰

= ( 2 + 2² ) + ( 2³ + 2⁴ ) +...... + ( 2⁹ + 2¹⁰ )

= 6 + 2³ . ( 2 + 2² ) +... + 2⁹ . ( 2 + 2² )

= 6 + 2³ . 6 + ......... + 2⁹ . 6

= 6 . ( 2 + 2² + 2³ +......+ 2⁹ ) chia hết cho 3 ( Vì 6 chia hết cho 3, nên 6k chia hết cho 3 )

=>   A chia hết  cho 3

b, Tương tự ta làm tiếp với ý b

Lời giải:

$A=(1+2)+(2^2+2^3)+....+(2^{2020}+2^{2021})$

$=3+2^2(1+2)+....+2^{2020}(1+2)$

$=3+3.2^2+....+3.2^{2020}$

$=3(1+2^2+....+2^{2020})\vdots 3$
Ta có đpcm.

\(A=\left(1+2\right)+2^2\left(1+2\right)+...+2^{10}\left(1+2\right)=3+2^2.3+...+2^{10}.3=3\left(1+2^2+...+2^{10}\right)⋮3\)

\(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{10}+2^{11}\)

\(=\left(1+2\right)+2^2\left(1+2\right)+...+2^{10}\left(1+2\right)\)

\(=\left(1+2\right)\left(1+2^2+...+2^{10}\right)\)

\(=3\left(1+2^2+...+2^{10}\right)\) ⋮3

b) cho 1 số tự nhiên a bất kì thì 4 số TN liên tiếp là a -> a+ 1 ; a + 2 ; a + 3 
tổng = a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = 4a + 6 = 4(a + 1) + 2 chia 4 dư 2 
hoặc cho 1 số tự nhiên a - 1 bất kì thì 4 số TN liên tiếp là a - 1 -> a ; a + 1 ; a + 2 
tổng = a - 1 + a + a + 1 + a + 2 = 4a + 2 chia 4 dư 2 
=> dù cho chọn 4 số TN Liên tiếp thì tổng của chúng khi chia 4 luôn dư 2

bài này trong sbt 6 giữa giai xem mà mấy bài này gọi a là ra dễ lắm

3 số tự nhiên liên tiếp có dạng a,a+1, a+2. theo đề a+a+1+a+2 chia hết cho 3<=>3a+3 chia hết cho 3=>3 số tự nhiên liên tiếp chia  hết cho 3

A=\((1+2)+\left(2^2+2^3\right)+...+\left(2^{19}+2^{20}\right)\)

A=\(3.1+2^2\left(1+2\right)+...+2^{19}\left(1+2\right)\)

A=\(3.1+3.2^2+...+3.2^{19}\)

A=\(3\left(1+2^2+...+2^{19}\right)\)\(⋮3\)

Vậy A\(⋮3\)

A=(1+2)+(22+23)+...+(219+220)(1+2)+(22+23)+...+(219+220)

A=3.1+22(1+2)+...+219(1+2)3.1+22(1+2)+...+219(1+2)

A=3.1+3.22+...+3.2193.1+3.22+...+3.219

A=3(1+22+...+219)3(1+22+...+219)⋮3⋮3

NÊN  A⋮3