Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}BM=\dfrac{1}{2}BC\\BP=\dfrac{1}{2}AB\\AB=BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BM=BP\)

\(\Rightarrow\Delta BMP\) cân tại B

Mà \(\widehat{B}=60^0\) (do tam giác ABC đều) \(\Rightarrow\Delta BMP\) đều

\(\Rightarrow MB=MP\)

Hoàn toàn tương tự, ta có tam giác CMN đều \(\Rightarrow MC=MN\)

\(\Rightarrow MB=MC=MP=MN\)

\(\Rightarrow B;C;P;N\) cùng thuộc đường tròn tâm M hay đường tròn đường kính BC đi qua trung điểm AB, AC

ối chồi em mới lớp 7 thôi

\(1,\)Gọi I là tâm đường tròn đường kính BC thì I là trung điểm BC và \(MI=IN=BI=CI=\dfrac{1}{2}BC\) (bán kính cùng đường tròn)

\(\Rightarrow\Delta BNC\) vuông tại N và \(\Delta CMB\) vuông tại N

Vậy \(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90\) độ

\(2,\)Ta có \(H=BM\cap CN\)

Mà BM, CN là đường cao tam giác ABC

Suy ra H là trực tâm

\(\Rightarrow AH\) là đường cao thứ 3

\(\Rightarrow AH\perp BC\)

\(3,\) Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại N và AH là K, AH cắt BC tại E.

Ta có \(\widehat{KNH}+\widehat{INH}=90\)

Mà \(\widehat{INH}=\widehat{NCI}\left(NI=IC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{KNH}+\widehat{NCI}=90\)

Mà \(\widehat{NCI}+\widehat{CHE}=90\)

\(\Rightarrow\widehat{KNH}=\widehat{CHE}\)

Mà \(\widehat{CHE}=\widehat{NHK}\left(đđ\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{KNH}=\widehat{NHK}\)

\(\Rightarrow\Delta NHK\) cân tại K\(\Rightarrow NK=KH\left(1\right)\)

Ta có \(\widehat{KNH}+\widehat{KNA}=90;\widehat{KHN}+\widehat{NAH}=90\)

\(\Rightarrow\widehat{ANK}=\widehat{NAK}\Rightarrow NK=AK\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow NK=KH=AK\)

\(\Rightarrow\)Đfcm

Tick plzzz, nghĩ nát óc đó

1: Xét (O) có 

\(\widehat{BNC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{BNC}=90^0\)

Xét (O) có 

\(\widehat{BMC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{BMC}=90^0\)

2: Xét ΔABC có 

BM là đường cao ứng với cạnh AC

CN là đường cao ứng với cạnh AB

BM cắt CN tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

Suy ra: AH\(\perp\)BC

ssdzsawrrrrrrt

Xét \(\Delta ABC\)có D và F lần lượt là trung điểm của AB và BC \(\Rightarrow\)DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow DF//AC\)

Mà \(AB\perp AC\Rightarrow DF\perp AB\Rightarrow\widehat{ADF}=90^0\)

Xét tứ giác ADHF có \(\widehat{ADF}=\widehat{AHF}\left(=90^0\right)\Rightarrow\)Tứ giác ADHF nội tiếp được đường tròn. \(\Rightarrow\)Đường tròn đi qua A, D, H đi qua F. (1)

Dễ dàng chứng minh EF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\(\Rightarrow EF//AB\)

Mà \(AB\perp AC\Rightarrow EF\perp AC\Rightarrow\widehat{AEF}=90^0\)

Xét tứ giác ADFE có \(\widehat{DAE}=\widehat{ADF}=\widehat{AEF}\left(=90^0\right)\Rightarrow\)Tứ giác ADFE là hình chữ nhật \(\Rightarrow\)A,D,F,E cùng thuộc một đường tròn \(\Rightarrow\)Đường tròn đi qua A,D,F cũng đi qua E. Mà đường tròn đi qua A,D,F chính là đường tròn đi qua A,D,H nên đường tròn đi qua A,D,H đi qua E. (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrowđpcm\)

a) Xét (O) có 

ΔAEC nội tiếp đường tròn(A,E,C cùng thuộc (O))

AC là đường kính của (O)(gt)

Do đó: ΔAEC vuông tại E(Định lí)

\(\Rightarrow\)AE\(\perp\)EC tại E

\(\Rightarrow\)AE\(\perp\)BE tại E

hay \(\widehat{AEB}=90^0\)

Xét ΔAEB có \(\widehat{AEB}=90^0\)(cmt)

nên ΔAEB vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)

Xét ΔAEB vuông tại E có \(\widehat{ABE}=45^0\)(gt)

nên ΔAEB vuông cân tại E(Định lí tam giác vuông cân)

\(\Rightarrow\)AE=EB(hai cạnh bên của ΔAEB vuông cân tại E)

b)

Ta có: EA\(\perp\)EB(cmt)

nên \(EA\perp EH\) tại E

Xét ΔEHB có \(EA\perp EH\) tại E(cmt)

nên ΔEHB vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)

Ta có: ΔEHB vuông tại E(cmt)

mà EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BH(I là trung điểm của BH)

nên \(EI=\dfrac{BH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(IH=BI=\dfrac{BH}{2}\)(I là trung điểm của BH)

nên EI=IH=IB

Ta có: IH=IE(cmt)

nên I nằm trên đường trung trực của HE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

hay đường trung trực của HE đi qua trung điểm I của BH(đpcm)

c) Ta có: \(AE\perp EC\) tại E(cmt)

nên \(AE\perp BC\) tại E

Xét (O) có 

ΔADC nội tiếp đường tròn(A,D,C cùng thuộc đường tròn(O))

AC là đường kính của (O)(gt)

Do đó: ΔADC vuông tại D(Định lí)

\(\Rightarrow CD\perp AD\) tại D

hay \(CD\perp BA\) tại D

Xét ΔBAC có 

AE là đường cao ứng với cạnh BC(cmt)

CD là đường cao ứng với cạnh BA(cmt)

AE cắt CD tại H(gt)

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Tính chất ba đường cao của tam giác)

\(\Rightarrow\)BH là đường cao ứng với cạnh AC

hay \(BH\perp AC\)(đpcm)