Chương III - Góc với đường tròn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Châu Mỹ Linh

Cho tam giác nhọn ABC có \(\widehat{B}=45^o\). Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E

a) Chứng minh rằng AE = EB

b) Gọi H là giao điểm của CD và EA. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua điểm I của BH

c) Chứng minh BH \(\perp\) AC

Nguyễn Lê Phước Thịnh
17 tháng 1 2021 lúc 21:54

a) Xét (O) có 

ΔAEC nội tiếp đường tròn(A,E,C cùng thuộc (O))

AC là đường kính của (O)(gt)

Do đó: ΔAEC vuông tại E(Định lí)

\(\Rightarrow\)AE\(\perp\)EC tại E

\(\Rightarrow\)AE\(\perp\)BE tại E

hay \(\widehat{AEB}=90^0\)

Xét ΔAEB có \(\widehat{AEB}=90^0\)(cmt)

nên ΔAEB vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)

Xét ΔAEB vuông tại E có \(\widehat{ABE}=45^0\)(gt)

nên ΔAEB vuông cân tại E(Định lí tam giác vuông cân)

\(\Rightarrow\)AE=EB(hai cạnh bên của ΔAEB vuông cân tại E)

b)

Ta có: EA\(\perp\)EB(cmt)

nên \(EA\perp EH\) tại E

Xét ΔEHB có \(EA\perp EH\) tại E(cmt)

nên ΔEHB vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)

Ta có: ΔEHB vuông tại E(cmt)

mà EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BH(I là trung điểm của BH)

nên \(EI=\dfrac{BH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(IH=BI=\dfrac{BH}{2}\)(I là trung điểm của BH)

nên EI=IH=IB

Ta có: IH=IE(cmt)

nên I nằm trên đường trung trực của HE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

hay đường trung trực của HE đi qua trung điểm I của BH(đpcm)

c) Ta có: \(AE\perp EC\) tại E(cmt)

nên \(AE\perp BC\) tại E

Xét (O) có 

ΔADC nội tiếp đường tròn(A,D,C cùng thuộc đường tròn(O))

AC là đường kính của (O)(gt)

Do đó: ΔADC vuông tại D(Định lí)

\(\Rightarrow CD\perp AD\) tại D

hay \(CD\perp BA\) tại D

Xét ΔBAC có 

AE là đường cao ứng với cạnh BC(cmt)

CD là đường cao ứng với cạnh BA(cmt)

AE cắt CD tại H(gt)

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Tính chất ba đường cao của tam giác)

\(\Rightarrow\)BH là đường cao ứng với cạnh AC

hay \(BH\perp AC\)(đpcm)


Các câu hỏi tương tự
ekhoavvdd
Xem chi tiết
Nguyễn Phương Thảo
Xem chi tiết
VŨ MAI LINH
Xem chi tiết
loancute
Xem chi tiết
Nam Vương Thành
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Phiến
Xem chi tiết
anh khoi
Xem chi tiết
Lê Thị Thu Thủy
Xem chi tiết
Nguyễn Cao Học
Xem chi tiết