Cho tam giác ABC có AC < A. Gọi d1 và d2 lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của góc BAC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên d1 và d2. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên d1 và d2.
a) Chứng minh rằng MN và PQ lần lượt đi qua trung điểm của AB và AC.
b) Chứng minh rằng MN và PQ cắt nhau trên BC.
c) Trên d, lấy các điểm E và F sao cho \(\widehat{BAE}=\widehat{BCA}\) và \(\widehat{ACF}=\widehat{CBA}\) ( E thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa C; F thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B. Chứng minh rằng \(\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{AC}\).
d) Các đường thẳng BN và CQ lần lượt cắt AC và AB tại các điểm K và L. Chứng minh rằng các đường thẳng KE và LF cắt nhau trên đường thẳng BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.
2. Giả sử M là điểm di chuyển trên đoạn CE .
a. Khi AM = AB, gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng ba điểm A,O,H thẳng hàng, từ đó suy ra tứ giác ABHI nội tiếp.
b. Gọi N là giao điểm của đường thẳng BM với cung nhỏ EF của (O), P, Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE và DF. Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng PQ max.
Vì DPN+DQN=90o+90o=180o nên DPNQ là tứ giác nội tiếp
=>QPN=QDN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QN) (5)
Mặt khác DENF là tứ giác nội tiếp nên QDN=FEN (6)
Từ (5) và (6) ta có FEN=QPN (7)
Tương tự ta có: EFN=PQN (8)
Từ (7) và (8) suy ra Δ N P Q ~ Δ N E F ( g . g ) = > P Q E F = N Q N F
Theo quan hệ đường vuông góc – đường xiên, ta có
N Q ≤ N F = > P Q E F = N Q N F ≤ 1 = > P Q ≤ E F
Dấu bằng xảy ra khi Q ≡ F ⇔ NF ⊥ DF ⇔ D, O, N thẳng hàng.
Do đó PQ max khi M là giao điểm của AC và BN, với N là điểm đối xứng với D qua O.
Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC, H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. CM 3 điểm B,O,K thẳng hàngCho tam giác ABC nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC, H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. CM 3 điểm B,O,K thẳng hàng
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và \(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\). Đường phân giác trong của góc BAC cắt đoạn BC tại D. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC. K là giao điểm của CE và BF. Đường thẳng BF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK tại điểm thứ hai là H ( H khác K). Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và BC. CM
a) \(IC.EB=IB.FC\)
b) \(DH\perp BF\)
cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC. cho BH= 3cm, CH= 12cm
a, tính độ dài các cạnh AB,AC
b, chứng minh HF= 2HE
c, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại I, kẻ AK vuông góc với CI tại K. chứng minh
CI^3/CB^3= IK/BH
a: \(AB=\sqrt{3\cdot15}=3\sqrt{5}\left(cm\right)\)
\(AC=\sqrt{12\cdot15}=6\sqrt{5}\left(cm\right)\)
b: \(\dfrac{HF}{HE}=\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AH^2}{AB}:\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{AC}{AB}=2\)
=>HF=2HE
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH = 9cm, CH = 16cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M, N (hình vẽ).
Tính độ dài đoạn thẳng DE.
A. DE = 12cm
B. DE = 8cm
C. DE = 15cm
D. DE = 6cm
Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì: A ^ = E ^ = D ^ = 90 o nên DE = AH.
Xét ABC vuông tại A có: A H 2 = HB.HC = 9.16 = 144 => AH = 12
Nên DE = 12cm
Đáp án cần chọn là: A
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M, N (hình vẽ).
Tính độ dài đoạn thẳng DE
A. DE = 5cm
B. DE = 8cm
C. DE = 7cm
D. DE = 6cm
Tứ giác ARHD là hình chữ nhật vì: A ^ = E ^ = D ^ = 90 ∘ nên DE = AH.
Xét ∆ ABC vuông tại A có A H 2 = HB.HC = 4.9 = 36 ⇔ AH = 6
Nên DE = 6cm
Đáp án cần chọn là : D
1 tam giác ABC các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I.D,E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên AB ,AC, BC. AI cắt BC tại M a, CMR góc BIF= góc CIM b, Nếu góc A=90 độ thì cmr AB+AC-BC=2ID 2 . tam giác ABC có 2 Phân giác BD,CE cắt nhau ở I qua I kẻ đường song song với AB cắt AC tại M cắt DC tại N Cmr MN=MA+NB
2:
Xét ΔACB có
BD,CE là phân giác
BD cắt CE tại I
=>I là tâm đường tròn nội tiếp
=>AI là phân giác của góc BAC
Xét ΔMIA có góc MAI=góc MIA
nên ΔMIA cân tại M
=>MA=MI
Xét ΔNIB có góc NIB=góc NBI
nên ΔNIB cân tại N
=>NI=NB
=>MN=MA+NB
