M=3+3²+3³+...+3ⁿ

=>3M=3²+3³+3⁴+...+3ⁿ⁺¹

=>3M-M=3ⁿ⁺¹-3

=>2M=3ⁿ⁺¹-3

=>M=\(\frac{3^{n+1}-3}{2}\)

\(N=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^n}\)

=>3N\(=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}\)

=>3N-N=\(1-\frac{1}{3^n}\)

=>2N=\(1-\frac{1}{3^n}\Rightarrow N=\frac{1-\frac{1}{3^n}}{2}\)

help me

\(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^8}+\frac{1}{3^9}\)

\(3A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^7}+\frac{1}{3^8}\)

\(3A-A=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^9}\)

\(2A=\frac{1}{3}.\left(1-\frac{1}{3^8}\right)\)

\(A=\frac{1}{6}.\left(1-\frac{1}{3^8}\right)\)

\(B=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}\)

\(\frac{1}{2}B=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}\)

\(B-\frac{1}{2}B=1-\frac{1}{2^{n+1}}\)

\(\frac{1}{2}B=1-\frac{1}{2^{n+1}}\)

\(B=2-\frac{2}{2^n.2}=2-\frac{1}{2^n}\)

a) Tổng \({S_n}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\) nên ta có:

\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9} = \left( {10 - 1} \right) + \left( {100 - 1} \right) + \left( {1000 - 1} \right) + ... + \left( {\underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0} - 1} \right)\\ = \left( {10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}} \right) - n\end{array}\)

Tổng \(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\) nên ta có:

\(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,s\^o \,\,0} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} = \frac{{10 - {{10}^{n + 1}}}}{{ - 9}} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9}\)

Vậy \({S_n} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9} - n = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n}}{9}\)

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\) nên

\(1 + \frac{1}{3} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2}\).

3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² +3ⁿ - 2ⁿ = 3ⁿ . 3² - 2ⁿ. 2² +3ⁿ -2ⁿ

                             = 3ⁿ(3²+1) - (2ⁿ.2² +2ⁿ)

                             =3ⁿ . 10 - 2ⁿ .5

                             =3ⁿ.10 - 2^n-1 .2 .5

                             = 3ⁿ.10 - 2^n-1 .10

                             = 10(3ⁿ - 2^n-1)

vì 10 chia hết cho 10 nên 10(3ⁿ-2^n-1) chia hết cho 10

                         =>  3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² +3ⁿ -2ⁿ chia hết cho 10

Ai làm nhanh nhất mình sẽ **** xin cảm ơn các bạn mình đang cần gấp

Chọn C

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{3}\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\).

Số hạng tổng quát của dãy số là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = \frac{1}{{{3^n}}}\).

Chọn C.