ABCD là hbh

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔOAM và ΔOCP có

góc OAM=góc OCP

OA=OC

góc AOM=góc COP

=>ΔOAM=ΔOCP

=>OM=OP

=>O là trung điểm của MP

Xét ΔOQD và ΔONB có

góc ODQ=góc OBN

OD=OB

góc QOD=góc NOB

=>ΔOQD=ΔONB

=>OQ=ON

=>O là trung điểm của QN

Xét tứ giác MNPQ có

O là trung điểm chung của MP và NQ

=>MNPQ là hbh

Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy ra M, O, N thẳng hàng.

Mặt khác, do AB // CD nên theo Định lí Ta-lét ta có:

Từ đó, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a) Ta có thể chứng minh ΔAOP = ΔBOR bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc AOP và góc BOR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc OPA = góc ORB (do OP và OR là hai cạnh của hình vuông OPRQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có ΔAOP = ΔBOR.

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD, nên ta có OP = OR = OS = OQ.

c) Ta cũng có thể chứng minh PRSQ là hình vuông bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc PQR và góc PSR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc QPR = góc RPS (do PQ và RS là hai cạnh của hình vuông PRSQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có PRSQ là hình vuông.

Vậy, ΔAOP = ΔBOR, OP = OR = OS = OQ và PRSQ là hình vuông.

để mai mình tìm cách làm cho bạn dễ hiểu hơn

a) Vì tam giác AOB và tam giác BAQ có các góc tương đương và cạnh nhau nên chúng có cùng một hình dạng (đồng dạng). Từ đó suy ra, độ dài hai cạnh OA và OB cũng bằng nhau. b) Vì hình vuông PRSQ, các đường chéo PR, PS và RS đều chia thành các góc 90 độ. Do đó, độ dài MO bằng độ dài AS và cũng bằng độ dài BR. Ngoài ra, từ tam giác MOAS và tam giác MOBR, ta có thể thấy rằng độ dài OP bằng OR và cũng bằng OS. c) Do góc RPQ bằng góc RPS và cạnh PR bằng cạnh PS, ta suy ra hình vuông PRSQ.

Từ O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E, cắt BC tại F.

Áp dụng kết quả chứng minh ở bài 14 ta có:

OE = OF

Từ đó, ta có:

S A E O = S B F O  (1) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);

S D E O = S C F O  (2)

Từ (1) và (2) suy ra : S O A D = S O B C  (3)

Suy ra: OH.AD = OK.BC

⇔

1). Gọi MN giao PQ tại T. Theo định lí Thales, ta có T P T C = T D T B = T C T Q .

Từ đó T C 2 = T P . T Q .

Do TC là tiếp tuyến của (O), nên  T C 2 = T M . T N .

Từ đó T M . T N = T C 2 = T P . T Q , suy ra tứ giác MNPQ nội tiếp.

a: Xét (O) có 

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

Xét (O) có 

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

Xét ΔABC có

BD là đường cao

CE là đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: AH⊥BC