15/25

Nếu 3 cạnh a, b, c lập thành cấp số cộng thì ta có a + c = 2b

\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=4\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}\left(1\right)\)

Vì \(A+C=180^0-B\Rightarrow\frac{A+C}{2}=90^0-\frac{B}{2}\)

<=> \(\sin\frac{A+C}{2}=\sin\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\cos\frac{B}{2}\) hoặc \(\cos\frac{A+C}{2}=\cos\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\sin\frac{B}{2}\) (*)

Do đó (1) trở thành :

\(\Leftrightarrow\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{B}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\cos\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}=2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}=3\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cot\frac{A}{2}\cot\frac{C}{2}=3\) => Điều phải chứng minh

Theo đầu bài ta có : \(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{C}{2}=2\cot\frac{B}{2}\Leftrightarrow\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}=2\frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}=2\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\cos\frac{A+C}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\sin\frac{A+C}{2}=\left(\cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{A+C}{2}\right)\sin\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}=\cos\frac{A-C}{2}\sin\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sin\left(A+C\right)=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin C\right)\)

\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Rightarrow a+c=2b\)

Chứng tỏ 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng

a/ Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\S=\frac{1}{2}ac.sinB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\sinB=\frac{2S}{ac}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow cotB=\frac{cosB}{sinB}=\frac{\left(a^2+c^2-b^2\right).ac}{2ac.2S}=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}\)

b/ Tương tự: \(cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) ; \(cotC=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)

\(\Rightarrow cotA+cotB+cotC=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}\)

Đề sai. Giả sử tam giác là tam giác đều thì ta có:

\(tan\left(30\right)+tan\left(30\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}>\frac{\sqrt{3}}{3}=tan\left(30\right)\)

Nếu nó đều thì bất đẳng thức bị sai là sao dùng bất đẳng thức đó để chứng minh nó đều được.

Sửa đề:

\(\hept{\begin{cases}tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}\le2tan\frac{C}{2}\left(1\right)\\cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}\le2cot\frac{C}{2}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{1}{tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan\frac{B}{2}}\le\frac{2}{tan\frac{C}{2}}\le\frac{4}{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\left(tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}\right)^2\le4tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(tan\frac{A}{2}-tan\frac{B}{2}\right)^2\le0\)

Dấu = xảy ra khi \(tan\frac{A}{2}=tan\frac{B}{2}\)

\(\Rightarrow A=B\)

Thế lại hệ ban đầu ta được

\(\hept{\begin{cases}2tan\frac{A}{2}\le2tan\frac{C}{2}\\2cot\frac{A}{2}\le2cot\frac{C}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}tan\frac{A}{2}\le tan\frac{C}{2}\\tan\frac{A}{2}\ge tan\frac{C}{2}\end{cases}}\)

Dấu = xảy ra khi \(A=C\)

Vậy ta có được \(A=B=C\) nên tam giác ABC là tam giác đều.

Theo tính chất của tam giác, ta có:

\(A+B+C=180^0\)

\(\Rightarrow\dfrac{A+B+C}{2}=90^0\)

\(\Rightarrow\dfrac{B+C}{2}=90^0-\dfrac{A}{2}\)

\(\Rightarrow tan\left(\dfrac{B+C}{2}\right)=tan\left(90^0-\dfrac{A}{2}\right)\)

\(\Rightarrow tan\left(\dfrac{B+C}{2}\right)=cot\left(\dfrac{A}{2}\right)\)