a/ Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\S=\frac{1}{2}ac.sinB\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\sinB=\frac{2S}{ac}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow cotB=\frac{cosB}{sinB}=\frac{\left(a^2+c^2-b^2\right).ac}{2ac.2S}=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}\)
b/ Tương tự: \(cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) ; \(cotC=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)
\(\Rightarrow cotA+cotB+cotC=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}\)
Cho a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, S là diện tích tam giác. Chứng minh:
\(S\ge\dfrac{1}{4}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\)
Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c<= 2 .chứng minh rằng \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\ge\frac{\sqrt{97}}{2}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thõa mãn : \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\).
Giúp e mấy bài này với ạ.
1) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = 1.
Chứng minh rằng: \(\frac{3ab+1}{a+b}+\frac{3bc+1}{b+c}+\frac{3ac+1}{c+a}\ge4.\)
2) Cho các số thực dương a, b, c sao cho \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\le1\)
Chứng minh rằng: \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\ge125.\)
3) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = \(\frac{a^2+b^2}{9-ab}+\frac{b^2+c^2}{9-bc}+\frac{c^2+a^2}{9-ca}.\)
4) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{bc}{a\left(3b+a\right)}}+\sqrt{\frac{ac}{b\left(3c+b\right)}}+\sqrt{\frac{ab}{c\left(3a+c\right)}}\ge\frac{3}{2}\)
cho a b c là các số thực dương sao cho abc = 1
chứng minh \(\frac{a}{ca+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Cho \(0< a,b,c< 1\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le\frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}\).
Cho a,b,c là ba số thực không âm và không có 2 số nào cùng bằng 0. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
\(\frac{a^{2^n}+b^{2^n}}{a^{2^n}+c^{2^n}}+\frac{b^{2^n}+c^{2^n}}{b^{2^n}+a^{2^n}}+\frac{c^{2^n}+a^{2^n}}{c^{2^n}+b^{2^n}}\ge\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}\)
Help @@@@!!!!
Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a) \(\left(a+\frac{4b}{c^2}\right)\left(b+\frac{4c}{a^2}\right)\left(c+\frac{4a}{b^2}\right)\ge64\)
b) \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
