Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.( - 2) + ( - 1).0 =  - 2 \ne 0\).

Lại có: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}}  = \sqrt 2 ;\;|\overrightarrow b | = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2}}  = 2.\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{|\overrightarrow a |.\;|\overrightarrow b |}} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 2 .2}} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {135^o}\)

Chọn C

\(BD=a\sqrt{2}\)

\(\widehat{\left(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BS}\right)}=\widehat{SBD}=\dfrac{SB^2+BD^2-SD^2}{2SB.BD}=\dfrac{a^2+2a^2-a^2}{2a.a\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{\left(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BS}\right)}=45^0\)

Tham khảo:

a)  M thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng với nhau.

Lại có: MB = 3 MC \( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 3.\overrightarrow {MC} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \)

Mà \(BM = \dfrac{3}{4}BC\) nên \(\overrightarrow {BM}  = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

Lại có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Vậy \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Đề bài \(\Rightarrow SA\perp\left(ABCD\right)\)

\(3\overrightarrow{SM}=\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{SM}+2\overrightarrow{MC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow M\) là điểm nằm giữa BC đồng thời \(MB=2MC\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MB=2\\MC=1\end{matrix}\right.\)

Tương tự, N nằm giữa CD sao cho \(NC=2\) ; \(ND=1\)

Qua N kẻ đường thẳng song song DM cắt AB kéo dài tại P 

Tới đây thì vấn đề đơn giản: quy về tìm khoảng các giữa A và (SNP).

Kéo dài DM cắt AB kéo dài tại E, Talet: \(\dfrac{CD}{AE}=\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AE=2CD=6\)

Nối AN cắt DM tại F, Talet: \(\dfrac{NF}{AF}=\dfrac{DN}{AE}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow\dfrac{NF}{AN}=\dfrac{1}{7}\)

\(\Rightarrow d\left(DM;SN\right)=d\left(DM;\left(SNP\right)\right)=d\left(F;\left(SNP\right)\right)=\dfrac{1}{7}d\left(A;\left(SNP\right)\right)\)

Tứ giác DNPE là hbh \(\Rightarrow DN=EP=1\Rightarrow AP=7\)

Tính k/c từ A đến (SNP) bạn tự hoàn thành nhé, rất cơ bản

Bài này nếu được áp dụng tọa độ của 12 thì rất lẹ

Lời giải:

$\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{BN}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM})(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN})$

$=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}.\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}.\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{21}{20}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{4}AC^2-\frac{1}{5}AB^2$

$=\frac{21}{20}\cos A.|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|-\frac{1}{4}AC^2-\frac{1}{5}AB^2$

$=\frac{21}{20}.\frac{1}{2}.5.8-\frac{1}{4}.8^2-\frac{1}{5}.5^2=0$

$\Rightarrow CM\perp BN$

Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng: có giá song song và cùng hướng với nhau.

Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow x \) ngược hướng: có giá song song và ngược hướng với nhau.

Vectơ \(\overrightarrow z \) có giá song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow z \) ngược hướng với nhau.

Vectơ \(\overrightarrow y \) có giá song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow y \) cùng hướng với nhau.

Vectơ \(\overrightarrow b \) có giá không song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương với nhuau. Do vậy không xét chúng cùng hướng hay ngược hướng với nhau.

a) 

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = ( - 3).2 + 1.6 = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \) hay \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}\).

b)

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 3.2 + 1.4 = 10\\|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{3^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} ;\;\,|\overrightarrow b |\, = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^o}\end{array}\)

c) Dễ thấy: \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương do \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{ - \sqrt 2 }}\)

Hơn nữa: \(\overrightarrow b  = \left( {2; - \sqrt 2 } \right) =  - \sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 ;1} \right) =  - \sqrt 2 .\overrightarrow a \;\); \( - \sqrt 2  < 0\)

Do đó: \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng.

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}\)

Chú ý:

Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:

+  \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}\): nếu \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

+ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương: 

\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^o}\) nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng

\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}\) nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng

Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).

a) Ta có: \(\overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AN}  \Rightarrow CE//AN\) và \(CE = AN = ND = BM = MC\)

Suy ra \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {CE} \)

+) \(\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {NE} \)

+) ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \)

\(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BM} \)

+) Ta có \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN}  \Rightarrow AMCN\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AM} \)

\(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AE} \) (vì AMED là hình bình hành)

b) Ta có:

+) \(\overrightarrow {NC}  - \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {NM} \)

+) \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB} \)

+) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DB} \)

c) Ta có:

\(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AC} \)

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) (đpcm)

a) \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2.6 + ( - 3).4}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {4^2}} }} = 0 \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \)

b) \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{3.5 + 2.( - 1)}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \)

c) \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right).3 + ( - 2\sqrt 3 ).\sqrt 3 }}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\sqrt 3 }^2}} }} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 150^\circ \)