a) Gọi P là giao điểm của CN và AB

Ta có \(P \in CN\)suy ra \(P \in (CMN)\)

Suy ra P là giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng AB

Gọi E là giao điểm của MB và SB

Ta có \(E \in MP\)suy ra\(E \in (CMN)\)

Suy ra E là giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SB

b) Vì M và E cùng thuộc (CMN) và (SAB) nên ME  là giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (SAB)

Vì E và C cùng thuộc (CMN) và (SBC) nên EC là giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (SBC)

a/

Ta có

\(S\in\left(SAC\right);S\in\left(SBD\right)\)

Trong mp (ABCD) gọi O là giao của AC và BD

\(O\in AC\Rightarrow O\in\left(SAC\right);O\in BD\Rightarrow O\in\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow SO\in\left(SAC\right)\) và \(SO\in\left(SBD\right)\) => SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)

b/

Trong mp (ABCD) Từ G dựng đường thẳng // AC cắt BC tại K

Xét tg SAC có

SM=AM (gt); SN=CN (gt) => MN là đường trung bình của tg SAC

=> MN//AC

Mà GM//AC

=> MN//GK mà \(G\in\left(GMN\right)\Rightarrow GK\in\left(GMN\right)\) (Từ 1 điểm trong mặt phẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và // với 1 đường thẳng cho trươc thuộc mặt phẳng)

\(\Rightarrow K\in\left(GMN\right);K\in BC\) => K llaf giao của BC với (GMN)

c/

Ta có

\(KN\in\left(GMN\right);KN\in\left(SBC\right)\) => KN là giao tuyến của (GMN) với (SBC)

Trong (ABCD) KG cắt AB tại H

\(KG\in\left(GMN\right)\Rightarrow KH\in\left(GMN\right)\)

\(KG\in\left(ABCD\right)\Rightarrow KH\in\left(ABCD\right)\)

=> KH là giao tuyến của (GMN) với (ABCD)

Ta có 

\(HM\in\left(SAB\right);HM\in\left(GMN\right)\) => HM là giao tuyến của (GMN) với (SAB)

Trong mp(SAC) gọi P là giao của SO với MN

\(P\in MN\Rightarrow P\in\left(GMN\right)\)

Trong mp(SBD) Nối G với P cắt SD tại Q

\(\Rightarrow GP\in\left(GMN\right)\Rightarrow Q\in GMN\)

\(\Rightarrow MQ\in\left(GMN\right)\) mà \(MQ\in\left(SAD\right)\) => MQ là giao tuyến của (GMN) với (SAD)

Ta có

\(NQ\in\left(GMN\right);NQ\in\left(SCD\right)\) => NQ là giao tuyến của (GMN) với (SCD)

=> thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (GMN) là đa giác HMQNK

Gọi E là giao điểm của CG với AB, F là giao điểm của AG với BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

AG cắt BC tại F

Do đó: F là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

CG cắt AB tại E

Do đó: E là trung điểm của AB

Chọn mp(SEC) có chứa SG

Trong mp(SAB), gọi K là giao điểm của BM với SE

\(K\in SE\subset\left(SEC\right);K\in BM\subset\left(BMN\right)\)

=>\(K\in\left(SEC\right)\cap\left(BMN\right)\)

\(N\in SC\subset\left(SEC\right);N\in\left(BMN\right)\)

=>\(N\in\left(SEC\right)\cap\left(BMN\right)\)

=>\(\left(SEC\right)\cap\left(BMN\right)=KN\)

Gọi I là giao điểm của SG với KN

=>I là giao điểm của SG với mp(BMN)

a) Do MN\(\subset\) (BMN); AD \(\subset\)(ABCD) nên I là một điểm chung của (BMN) với (ABCD). Dễ thấy B là một điểm chung khác I

Vậy (BMN)\(\cap\) (ABCD) =BI

b) J\(\in\)BI\(\subset\) (BMN)

J \(\in\) (CD) \(\subset\) (SCD) 

nên J là một điểm chung của (BMN) \(\cap\) (SCD)

vậy (SCD) \(\cap\) (BMN) =NJ

Thiết diện của (BMN) với hình chóp là tứ giác AMNJ

c) Áp dụng định lí Menelaus Trong \(\Delta SAD\) có cát tuyến MNI có:

\(\dfrac{ID}{IA}.\dfrac{MA}{MS}.\dfrac{NS}{ND}=1\)

\(\dfrac{ID}{IA}.1.2=1\) => \(\dfrac{ID}{IA}=\dfrac{1}{2}\)

=> D là trung điểm AI

+ Xét tam giác SAI có 2 trung tuyến MI, SD giao nhau tại N => N là trong tâm tam giác SAI

=> \(\dfrac{NI}{MI}=\dfrac{2}{3}\)

Ta có AD//BC

=> \(\dfrac{IK}{BK}=\dfrac{AI}{BC}=\dfrac{2AD}{BC}=2\)(do AD=BC)

=> \(\dfrac{IK}{IB}=\dfrac{2}{3}\)

Xét tam giác MIB có: \(\dfrac{NI}{MI}=\dfrac{IK}{IB}=\dfrac{2}{3}\)

=> BM//NK

a) Gọi I là giao điểm của mặt phẳng (α) với cạnh SC. Ta có: (α) ⊥ SC, AI ⊂ (α) ⇒ SC ⊥ AI. Vậy AI là đường cao của tam giác vuông SAC. Trong mặt phẳng (SAC), đường cao AI cắt SO tại K và AI ⊂ (α), nên K là giao điểm của SO với (α).

b) Ta có 

⇒ BD ⊥ SC

Mặt khác BD ⊂ (SBD) nên (SBD) ⊥ (SAC).

Vì BD ⊥ SC và (α) ⊥ SC nhưng BD không chứa trong (α) nên BD // (α)

Ta có K = SO ∩ (α) và SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K là một điểm chung của (α) và (SBD).

Mặt phẳng (SBD) chứa BD // (α) nên cắt theo giao tuyến d // BD. Giao tuyến này đi qua K là điểm chung của (α) và (SBD).

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với SB và SD. Ta được thiết diện là tứ giác AIMN vuông góc với SC và đường chéo MN song song với BD.

a) Ta có: AM cắt CD tại E nên E thuộc (AMN) và (SCD)

Mà N thuộc (AMN) và (SCD)

Do đó: EN là giao tuyến của hai mặt phẳng cần tìm. 

b) Ta có: En cắt SC tại F nên F thuộc (AMN) và (SBC) 

Mà M thuộc (AMN) và (SBC) 

Do đó: FM là giao tuyến của hai mặt phẳng cần tìm. 

a) Ta có: MP cắt BC tại E mà BC thuộc (BCD)

Nên: E là giao điểm của đường thẳng MP với mặt phẳng (BCD). 

b) Ta có: EN cắt CD tại Q mà EN thuộc (MNP) 

Nên: Q là giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP).

c) Ta có: P thuộc (MNP) và (ACD)

Q thuộc (MNP) và (ACD)

Nên PQ là giao tuyến của mặt phẳng (ACD) với mặt phẳng (MNP). 

d) △ACN có: \(\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{AG}{AN}=\dfrac{2}{3}\)

Suy ra: PG // CN 

Do đó: △PIG đồng dạng với △NIC

Do đó: C, I, G thẳng hàng.