Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này.
Số hạng thứ 10 của một cấp số cộng (Un) bằng 48 và số hạng thứ 18 bằng 88. Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng đó.
Theo đề, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_{10}=48\\u_{18}=88\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+9d=48\\u_1+17d=88\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-8d=-40\\u_1+9d=48\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}d=5\\u_1=48-9d=48-9\cdot5=3\end{matrix}\right.\)
\(u_{100}=u_1+99d=3+99\cdot5=498\)
Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.
ĐS: Cấp số cộng: 5, 25, 45
Cấp số nhân: 5, 15, 45
Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ 3 bằng nhau. Tìm các cấp số ấy ?
Gọi 3 số hạng của cấp số cộng là: \(5;5+d;5+2d\)
Gọi 3 số hạng của cấp số nhân là: \(5;5q;5q^2\).
Ta có hệ sau:\(\left\{{}\begin{matrix}5+2d=5q^2\\5+d=5q+10\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5+2d=5q^2\\d=5q+5\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow5+2.\left(5q+5\right)=5q^2\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}q=-1\\q=3\end{matrix}\right.\).
Với \(q=-1\) thì \(d=5.q+5=5.\left(-1\right)+5=0\).
Với \(q=3\) thì \(d=5.q+5=5.3+5=20\).
Vậy
Với \(q=-1\):
3 số hạng của cấp số cộng là: 5; 5; 5.
3 số hạng của cấp số nhân là: 5; - 5; 5.
Với \(q=3\):
3 số hạng của cấp số cộng là: 5; 25; 45.
3 số hạng của cấp số nhân là: 5; 15; 45.
Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} \times {q^{n - 1}}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = {u_1}{q^5} = 96\\{u_3} = {u_1}{q^2} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^2}.{q^3} = 96\\{u_1}{q^2} = 12\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12.{q^3} = 96\\{u_1}{q^2} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 3\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {u_n} = 3 \times {2^{n - 1}}\).
Số hạng thứ 50: \({u_{50}} = 3 \times {2^{50 - 1}} = 3 \times {2^{49}}\).
Một cấp số cộng và một cấp số nhân đều là các dãy tăng. Các số hạng thứ nhất đều bằng 3, các số hạng thứ hai bằng nhau. Tỉ số giữa số hạng thứ ba của cấp số nhân và cấp số cộng là 9/5. Tính tổng các số hạng thứ ba của hai cấp số trên.
A. 29.
B. 24.
C. 18.
D. 42.
Tìm số hạng đầu của cấp số nhân có bốn số hạng, biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 4 9 , đồng thời theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
A. 4
B. 16/9
C. 2/3
D. -1
Chọn A
Gọi u1,u2,u3,u4 là 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, với công bội q. gọi (vn) là cấp số cộng tương ứng với công sai là d. Theo giả thuyết Ta có:
u 1 + u 2 + u 3 = 16 4 9 u 1 = v 1 u 2 = v 4 = v 1 + 3 d u 3 = v 8 = v 1 + 7 d ⇔ u 1 + u 1 q + u 2 q 2 = 16 4 9 1 u 1 q = u 1 + 3 d 2 u 1 q 2 = u 1 + 7 d 3
Khử d từ (2) và (3) ta thu được:
7 u 1 q = 7 u 1 + 21 d 3 u 1 q 2 = 3 u 1 + 21 d
Lấy vế trừ vế ta thu được
7 u 1 q − 3 u 1 q 2 = 4 u 1 ⇔ u 1 . 3 q 2 − 7 q + 4 = 0 ⇔ u 1 = 0 3 q 2 − 7 q + 4 = 0
Do u 1 ≠ 0 ⇒ q = 1 q = 4 3
Theo định nghĩa cấp số nhận thì q ≠ 1 . Do đó q = 4 3
Thay q = 4 3 vào (1) ta được u 1 = 4
Một cấp số cộng và một cấp số nhân đều là các dãy số tăng. Các số hạng thứ nhất đều bằng 3, các số hạng thứ hai bằng nhau, tỷ số giữa các số hạng thứ ba của cấp số nhân và cấp số cộng là 9/5. Tính tổng S của cấp số nhân đó
A. S= 27
B. S= 39
C. S= 29
D. S= 37
Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?
A. d= 2
B. d= 3
C. d= 4
D. d= 5
u 12 = 23 S 12 = 144 ⇒ u 1 + 11 d = 23 12 2 u 1 + u 12 = 144 ⇔ u 1 + 11 d = 23 u 1 + 23 = 24 ⇔ u 1 = 1 d = 23 − u 1 11 = 2
Chọn đáp án A
Cho biết một cấp số nhân, hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 và nếu thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm 8 vào số hạng thứ 2 còn giữa nguyên số hạng thứ 3 thì ba số mới lập thành một cấp số cộng. Hãy tính tổng năm số hạng đầu của cấp số nhân đó .
+ Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u1, công bội là x
Theo giả thiết ta có hệ phương trình
+ Tổng của năm số hạng đầu của CSN là: