\(a,u_1;u_2=u_1+d;u_3=u_1+2d;u_4=u_1+3d;u_5=u_1+4d\\ b,u_n=u_1+\left(n-1\right)d\)

a) \({u_2} = {u_1}.q\)

\({u_3} = {u_2}.q = {u_1}.{q^2}\)

\({u_4} = {u_3}.q = {u_1}.{q^3}\)

\({u_5} = {u_4}.q = {u_1}.{q^4}\)

b) Từ a suy ra: \({u_n} = {u_1} \times {q^{n - 1}}\).

a) Ta có: \({u_2} = {u_1} + d\)

\({u_3} = {u_2} + d = {u_1} + 2d\)

\({u_4} = {u_3} + d = {u_1} + 3d\)

\({u_5} = {u_4} + d = {u_1} + 4d\)

b) Công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\):

\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

a)    Ta có: \({u_3} = {u_1}.{q^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{{27}}{4}} \right) = 3.{q^2} \Leftrightarrow q = \frac{3}{2}\)

Năm số hạng đầu của cấp số nhân: \(3;\frac{9}{2};\frac{{27}}{4};\frac{{81}}{8};\frac{{243}}{{16}}\)

b)    Tổng 10 số hạng đầu:

\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \frac{3}{2}}} = \frac{{3.\frac{{ - 58025}}{{1024}}}}{{1 - \frac{3}{2}}} = \frac{{ - 174075}}{{1024}}.\left( { - 2} \right) = \frac{{174075}}{{512}}\)

a) \({u_1} = 5,\;\;{u_2} = 10,\;\;\;{u_3} = 15,\;\;{u_4} = 20,\;\;\;{u_5} = 25\).

Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{5n}}{{5n - 1}} \)phụ thuộc vào n.

Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.

b) \({u_1} = 5,\;\;{u_2} = 25,\;\;{u_3} = 125,\;\;\;{u_4} = 625,\;\;\;{u_5} = 3125\).

Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{5^n}}}{{{5^{n - 1}}}} = 5,\;\forall n \ge 2\).

Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 5\).

Số hạng tổng quát: \({u_n} = 5 \times {5^{n - 1}}= 5^{n}\).

c) \({u_1} = 1,\;\;\;{u_2} = 2,\;\;\;{u_3} = 6,\;\;\;{u_4} = 24,\;\;\;{u_5} = 120\).

 có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = n\) phụ thuộc vào n, \(\forall n \in {N^*}\).

Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.

d) \({u_1} = 1,\;\;{u_2} = 5,\;\;{u_3} = 25,\;\;\;{u_4} = 125,\;\;\;{u_5} = 625\).

Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 5,\;\forall n \ge 2\).

Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 5\).

Số hạng tổng quát: \({u_n} = {5^{n - 1}}\).

a)    Ta có:

\({S_n}.q = \left( {{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\)

\(\begin{array}{l}{S_n} - {S_n}.q = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right) - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}} - \left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)} \right)\\ = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\end{array}\)

b)    Ta có: \({S_n} - {S_n}.q = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 - q} \right) = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{\left( {1 - q} \right)}}\)

1. Gọi công bội của csn đó là $q$ thì:
$u_6=q^4u_2$

$\Leftrightarrow 32=q^4.2\Leftrightarrow q^4=16$

$\Leftrightarrow q=\pm 2$

2. 

$u_{2019}=q^{2018}u_1=2.3^{2018}$

a) \({u_2} = {u_1}.q\)

\({u_3} = {u_1}.{q^2}\)

…

\({u_{n - 1}} = {u_1}.{q^{n - 2}}\)

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\)

\({S_n} = {u_1} + {u_1}q +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}\)

b) \(q{S_n} = q{u_1} + {u_1}{q^2} +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n}\)

c) \({S_n} - q{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1}q +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}} \right) - (q{u_1} + {u_1}{q^2} +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n})\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - q} \right){S_n} = {u_1} - {u_1}{q^n} = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\end{array}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1-u_1-2q+u_1+4q=65\\u_1+u_1+6q=325\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2q=65\\2u1+6q=325\end{matrix}\right.\)

=>u1=-130; q=195/2

`u_n = u_1 + (n-1).d`

`{(u_1-u_3+u_5=65),(u_1+u_7=325):}`

`<=>{(u_1-u_1-2d+u_1+4d=65),(u_1+u_1+6d=325):}`

`<=>{(u_1+2d=65),(2u_1+6d=325):}`

`<=>{(u_1=-130),(u_2=195/2):}` 

`u_n=u_1 . q^(n-1)`

`{(u_1-u_3+u_5=65),(u_1+u_7=325):}`

`<=>{(u_1 -u_1 .q^2 +u_1 .q^4=65),(u_1+u_1 .q^6=325):}`

`<=>{(u_1(1- q^2 + q^4)=65 \(1)),(u_1 .(1+q^6=325 \(2)):}`

Lấy (2) : (1) được: `(q^6+1)/(q^4-q^2+1)=5`

`<=>q=+-2`

TH1: `q=2=>u_1=5`

TH2: `q=-2=> u_1=5`

Vậy `(u_1;q)=(5;2),(5;-2)`