Bài 2: 

Xét ΔADC có OM//DC

nen OM/DC=AM/AD(1)

Xét ΔBDC có ON//DC

nên ON/DC=BN/BC(2)

Xét hình thag ABCD có MN//AB//CD
nên AM/AD=BN/BC(3)

Từ (1) (2)và (3) suy ra OM=ON

Bài 2: 

Xét ΔADC có OM//DC

nen OM/DC=AM/AD(1)

Xét ΔBDC có ON//DC

nên ON/DC=BN/BC(2)

Xét hình thag ABCD có MN//AB//CD
nên AM/AD=BN/BC(3)

Từ (1) (2)và (3) suy ra OM=ON

Xét ΔADC có OM//DC

nên \(\dfrac{OM}{DC}=\dfrac{AM}{AD}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có ON//DC

nên \(\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BN}{BC}\left(2\right)\)

Xét hình thang ABCD có MN//AB//CD

nên \(\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{BN}{NC}\)

=>\(\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{CN}{BN}\)

=>\(\dfrac{MD+MA}{MA}=\dfrac{CN+BN}{BN}\)

=>\(\dfrac{AD}{AM}=\dfrac{BC}{BN}\)

=>\(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{BN}{BC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra OM=ON

Sửa đề: Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, song song với CD cắt AD và BC lần lượt tại M và N

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//DC)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB\(\sim\)ΔOCD(g-g)

nên \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow\dfrac{OA}{OC}+1=\dfrac{OB}{OD}+1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{OA}{OC}+\dfrac{OC}{OC}=\dfrac{OB}{OD}+\dfrac{OD}{OD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AC}{OC}=\dfrac{BD}{OD}\)

hay \(\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{OC}{OD}\)(1)

Ta có: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)(cmt)

nên \(\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OC}{OD}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{OA}{OB}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}\)(3)

Xét ΔADC có 

M∈AD(gt)

O∈AC(gt)

MO//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{OM}{DC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(4)

Xét ΔBDC có

O∈BD(gt)

N∈BC(gt)

ON//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{BO}{BD}=\dfrac{ON}{DC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\dfrac{OM}{DC}=\dfrac{ON}{DC}\)

hay OM=ON(đpcm)

Do MN song song với AB và BC

⇒\(\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{DM}{AD}\)(theo Ta-lét)  (1)

Tương tự ⇒\(\dfrac{ON}{AB}=\dfrac{CN}{BC}\)       (2)

Lại có \(\dfrac{DM}{AD}=\dfrac{CN}{BC}\)(do AB song song với MN và BC)    (3)

Từ (1);(2) và (3) ⇒\(\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{ON}{AB}\)⇒\(OM=ON\)(đpcm)

--Bài này dễ mà bạn :)--

a: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB\(\sim\)ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}+1=\dfrac{OD}{OB}+1\)

=>\(\dfrac{OC+OA}{OA}=\dfrac{OD+OB}{OB}\)

=>\(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}\)(2)

b: Xét ΔCAD có OE//AD

nên \(\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\)(1)

Xét ΔBDC có OF//BC

nên \(\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{BO}{BD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{CF}{CD}\)

=>DE=CF

c. -Xét △ADC có: OM//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{MO}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\) (định lí Ta-let).

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{MO}=\dfrac{AC}{AO}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{OM}-1=\dfrac{OC}{AO}\) (1).

-Xét △BDC có: ON//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\) (định lí Ta-let).

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{ON}=\dfrac{BD}{BO}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{ON}-1=\dfrac{OD}{BO}\)

-Xét △ABO có: AB//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{OD}{BO}=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{DC}{AB}\) (3)

-Từ (1), (2),(3) suy ra:

\(\dfrac{DC}{OM}-1=\dfrac{DC}{ON}-1=\dfrac{DC}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{OM}=\dfrac{DC}{ON}=\dfrac{DC}{AB}+1=\dfrac{AB+DC}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{OM}=\dfrac{1}{ON}=\dfrac{AB+DC}{AB.DC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}\)

a: Xét ΔAOB và ΔCOD có 

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔAOB∼ΔCOD

Suy ra: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}\)

hay \(OA\cdot OD=OB\cdot OC\)

b: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}\)

\(\Leftrightarrow OA=\dfrac{1}{2}\cdot6=3\left(cm\right)\)

ta có 

AB//CD do đó \(\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}\Rightarrow\frac{DA}{DO}=\frac{CB}{CO}\)

mà ta có \(\frac{AB}{MO}=\frac{CB}{CO}=\frac{DA}{DO}=\frac{AB}{NO}\Rightarrow MO=NO\)

vậy ta có đpcm

Xét ΔODC có AB//DC

nên \(\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}\) và \(\dfrac{AO}{AD}=\dfrac{BO}{BC}\)(1)

Xét ΔAOM và ΔADC có

\(\widehat{AOM}=\widehat{ADC}\)

\(\widehat{OAM}=\widehat{DAC}\)

Do đó: ΔAOM~ΔADC

=>\(\dfrac{OM}{DC}=\dfrac{AO}{AD}\)(2)

Xét ΔBON và ΔBCD có

\(\widehat{BON}=\widehat{BCD}\)

\(\widehat{OBN}=\widehat{CBD}\)

Do đó: ΔBON~ΔBCD

=>\(\dfrac{BO}{BC}=\dfrac{ON}{CD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OM}{CD}=\dfrac{ON}{CD}\)

=>OM=ON

a) Xét tam giác ADC có \(OM//DC\)(gt)

\(\Rightarrow\frac{OM}{DC}=\frac{AO}{AC}\left(1\right)\)( hệ quả của định lý Ta-let)

Xét tam giác BDC có \(ON//DC\)(gt)

\(\Rightarrow\frac{ON}{DC}=\frac{OB}{BD}\left(2\right)\)( hệ quả của định lý Ta-let)

Xét tam giác ODC có: \(AB//DC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}\)( định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{OB}{OD+OB}=\frac{OA}{OA+OC}\)( tính chất của dãy tỉ số bằng nhau )

\(\Rightarrow\frac{OB}{BD}=\frac{OA}{AC}\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\Rightarrow OM=ON\left(đpcm\right)\)

b) Xét tam giác ADC có \(OM//DC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AD}=\frac{AO}{AC}\)( định lý Ta-let)

Xét tam giác ABC có \(ON//AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{CN}{CB}=\frac{OC}{AC}\)( định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AD}+\frac{CN}{CB}=\frac{AO}{AC}+\frac{OC}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)