Question

Cho hình thang ABCD {AB//CD}, O là giao điểm của AC và BD. D0ường thẳng qua O song song với AD, BC lần lượt ở M,N. Chứng minh OM=ON.

Answer 1

Sửa đề: Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, song song với CD cắt AD và BC lần lượt tại M và N

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//DC)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB\(\sim\)ΔOCD(g-g)

nên \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow\dfrac{OA}{OC}+1=\dfrac{OB}{OD}+1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{OA}{OC}+\dfrac{OC}{OC}=\dfrac{OB}{OD}+\dfrac{OD}{OD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AC}{OC}=\dfrac{BD}{OD}\)

hay \(\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{OC}{OD}\)(1)

Ta có: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)(cmt)

nên \(\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OC}{OD}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{OA}{OB}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}\)(3)

Xét ΔADC có 

M∈AD(gt)

O∈AC(gt)

MO//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{OM}{DC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(4)

Xét ΔBDC có

O∈BD(gt)

N∈BC(gt)

ON//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{BO}{BD}=\dfrac{ON}{DC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\dfrac{OM}{DC}=\dfrac{ON}{DC}\)

hay OM=ON(đpcm)

Answer 2

Do MN song song với AB và BC

⇒\(\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{DM}{AD}\)(theo Ta-lét)  (1)

Tương tự ⇒\(\dfrac{ON}{AB}=\dfrac{CN}{BC}\)       (2)

Lại có \(\dfrac{DM}{AD}=\dfrac{CN}{BC}\)(do AB song song với MN và BC)    (3)

Từ (1);(2) và (3) ⇒\(\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{ON}{AB}\)⇒\(OM=ON\)(đpcm)

--Bài này dễ mà bạn :)--