a.

Xét tứ giác CDHE có:

\(\widehat{CDH}+\widehat{CEH}=90^o+90^o=180^o\)

Do đó: tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp.

b. Gọi I là trung điểm của HC

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEC

Có: EM là trung tuyến tam giác vuông BEA

=> \(\widehat{MEB}=\widehat{MBE}\)

EI là trung tuyến tam giác vuông HEC

=> \(\widehat{IEH}=\widehat{IHE}\)

Mà: \(\widehat{MBE}=\widehat{ECH}\) (cùng phụ \(\widehat{BAC}\) )

=> \(\widehat{MEI}=\widehat{MEH}+\widehat{IEH}=\widehat{ECH}+\widehat{EHI}=90^o\)

=> ME vuông góc EI hay ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.

c. Xét tam giác vuông BDH và tam giác vuông ADC có:

\(\widehat{BHD}=\widehat{ACD}\) (cùng phụ \(\widehat{HBD}\) )

=> \(\Delta BDH\sim\Delta ADC\)

=> \(\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{DH}{DC}\)

<=> \(DH.DA=BD.DC\le\left(\dfrac{BD+DC}{2}\right)^2=\dfrac{BC^2}{4}=\dfrac{3R^2}{4}\)

\(DH.DA\) max \(=\dfrac{3R^2}{4}\)  khi và chỉ khi BD = DC <=> D là trung điểm của BC hay A là điểm chính giữa cung lớn BC.

☕T.Lam

giúp mình câu b với các bạn ơi

a: Xét (O) có

ΔBMC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó; ΔBMC vuông tại M

=>CM\(\perp\)MB tại M

=>CM\(\perp\)AB tại M

Xét (O) có

ΔBNC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó;ΔBNC vuông tại N

=>BN\(\perp\)NC tại N

=>BN\(\perp\)AB tại N

Xét ΔABC có

BN,CM là đường cao

BN cắt CM tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại K

b: Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=90^0+90^0=180^0\)

=>AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,M,H,N cùng thuộc đường tròn đường kính AH

tâm I là trung điểm của AH

c: IM=IH

=>ΔIMH cân tại I

=>\(\widehat{IMH}=\widehat{IHM}\)

mà \(\widehat{IHM}=\widehat{KHC}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{KHC}=\widehat{MBC}\left(=90^0-\widehat{MCB}\right)\)

nên \(\widehat{IMH}=\widehat{MBC}\)

OM=OC

=>ΔOMC cân tại O

=>\(\widehat{OMC}=\widehat{OCM}\)

=>\(\widehat{OMC}=\widehat{MCB}\)

\(\widehat{IMO}=\widehat{IMH}+\widehat{OMH}\)

\(=\widehat{MCB}+\widehat{MBC}=90^0\)

=>IM là tiếp tuyến của (O)

Xét ΔIMO và ΔINO có

IM=IN

MO=NO

IO chung

Do đó: ΔIMO=ΔINO

=>\(\widehat{IMO}=\widehat{INO}=90^0\)

=>IN là tiếp tuyến của (O)

a,  ta có BM , CN là các đường cao \(=>\angle\left(BMC\right)=\angle\left(CNB\right)=90^o\)(1)

mà N,M là 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác BNMC

\(=>\) tứ giác BMNC nội tiếp đường tròn 

=>4 điểm B,M,N,C cùng thuộc 1 đường tròn

b, có AD là đường kính (O) =>tam giác ACD nội tiếp (O)

\(=>\angle\left(ACD\right)=90^o\)(2)

từ(1)(2) \(=>BM//CD=>BH//CD\left(3\right)\)

tương tự =>tam giác ABD nội tiếp (O)\(=>\angle\left(ABD\right)=90^o\left(4\right)\)

từ(1)(4) \(=>BD//CN< =>CH//BD\left(5\right)\)

từ(3)(5)=>BHCD là hình bình hành