a: Xét (O) có
ΔBMC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó; ΔBMC vuông tại M
=>CM\(\perp\)MB tại M
=>CM\(\perp\)AB tại M
Xét (O) có
ΔBNC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó;ΔBNC vuông tại N
=>BN\(\perp\)NC tại N
=>BN\(\perp\)AB tại N
Xét ΔABC có
BN,CM là đường cao
BN cắt CM tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại K
b: Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=90^0+90^0=180^0\)
=>AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>A,M,H,N cùng thuộc đường tròn đường kính AH
tâm I là trung điểm của AH
c: IM=IH
=>ΔIMH cân tại I
=>\(\widehat{IMH}=\widehat{IHM}\)
mà \(\widehat{IHM}=\widehat{KHC}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{KHC}=\widehat{MBC}\left(=90^0-\widehat{MCB}\right)\)
nên \(\widehat{IMH}=\widehat{MBC}\)
OM=OC
=>ΔOMC cân tại O
=>\(\widehat{OMC}=\widehat{OCM}\)
=>\(\widehat{OMC}=\widehat{MCB}\)
\(\widehat{IMO}=\widehat{IMH}+\widehat{OMH}\)
\(=\widehat{MCB}+\widehat{MBC}=90^0\)
=>IM là tiếp tuyến của (O)
Xét ΔIMO và ΔINO có
IM=IN
MO=NO
IO chung
Do đó: ΔIMO=ΔINO
=>\(\widehat{IMO}=\widehat{INO}=90^0\)
=>IN là tiếp tuyến của (O)
