Cho hai biến cố xung khắc \(A\) và \(B\). Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) và 12 kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\). Hãy so sánh \(P\left( {A \cup B} \right)\) với \(P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau. Biết \(P\left( A \right) = 0,9\) và \(P\left( B \right) = 0,6\). Hãy tính xác suất của biến cố \(A \cup B\).
Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên `P(A∩B) = P(A) * P(B)`
Ta có:
`P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B)`
`= 0,9 + 0,6 - 0,9 * 0,6`
`= 0,9 + 0,6 - 0,54`
`= 0,96`
Vậy xác suất của biến cố `A∪B` là 0,96.
$HaNa$
Trở lại Vi dụ 1, xét hai biến cố sau:
A: “Học sinh được gọi là một bạn nữ";
B: "Học sinh được gọi có tên bắt đầu bằng chữ H".
Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A, B.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là A = {Hương; Hồng; Dung}.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là B = { Hương; Hồng; Hoàng}.
Gọi n(A) là số các kết quả thuận lợi cho biến cố liên quan đến một phép thử T và n ( Ω ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử T đó. Xác suất P( A ¯ ) của biến cố đối của biến cố A không là đẳng thức nào trong các đẳng thức sau?
A. P( A ¯ ) = n ( A ) n ( Ω )
B. P( A ¯ ) = 1 - P(A)
C. P( A ¯ ) = n ( A ¯ ) n ( Ω )
D. P( A ¯ ) = n ( Ω \ A ) n ( Ω )
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố thoả mãn \(P\left( A \right) = 0,5;P\left( B \right) = 0,7\) và \(P\left( {A \cup B} \right) = 0,8\).
a) Tính xác suất của các biến cố \(AB,\bar AB\) và \(\bar A\bar B\).
b) Hai biến cố \(A\) và \(B\) có độc lập hay không?
tham khảo
a)\(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right).\)
Suy ra \(P\left(AB\right)=0,4\)
\(P\left(\overline{A}B\right)=P\left(B\right)-P\left(AB\right)=0,7-0,4=0,3\)
\(P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=1-P\left(A\cup B\right)=0,2\)
b) Vì \(P\left(AB\right)\ne P\left(A\right).P\left(B\right)\) nên A và B không độc lập.
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau.
a) Biết \(P\left( A \right) = 0,3\) và \(P\left( {AB} \right) = 0,2\). Tính xác suất của biến cố \(A \cup B\).
b) Biết \(P\left( B \right) = 0,5\) và \(P\left( {A \cup B} \right) = 0,7\). Tính xác suất của biến cố \(A\).
a) \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập \( \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{{23}}{{30}}\)
b) \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập \( \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = 0,5.P\left( A \right)\)
\(\begin{array}{l}P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) \Leftrightarrow 0,7 = P\left( A \right) + 0,5 - 0,5.P\left( A \right)\\ \Leftrightarrow 0,5P\left( A \right) = 0,2 \Leftrightarrow P\left( A \right) = 0,4\end{array}\)
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 100
a) Hãy mô tả không gian mẫu
b) Gọi A là biến cố “Số được chọn là số chính phương”. Hãy viết tập hợp mô tả biến cố A
b) Gọi B là biến cố “Số được chọn chia hết cho 4” Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho B
\(a,\Omega=\left\{1;2;3;4;5;...;98;99\right\}\\ b,A=\left\{1;4;9;16;25;36;49;64;81\right\}\\c, B=\left\{4;8;16;20;24;...;92;96\right\}\\ Số.kết.quả.thuận.lợi.cho.B:\left(96-4\right):4+1=24\left(kết.quả\right)\)
a) Số nguyên dương nhỏ hơn 100 luôn có 1 hoặc 2 chữ số nên ta có không gian mẫu của phép thử trên là: \(\Omega = \left\{ {1,2,3,4,5,...98,99} \right\}\)
b) Tập hợp biến cố A: “Số được chọn là số chính phương” là:
\(A = \left\{ {{a^2}\left| {a = 1,2,...,9} \right.} \right\}\)
c) Cứ 4 số thì có 1 số chia hết cho 4, số nhỏ nhất là 4 và lớn nhất là 96 nên số kết quả thuận lợi cho biến cố B là \(\dfrac{96-4}{4}+1=24\).
Vậy có 24 kết quả thuận lợi cho biến cố B: “Số được chọn chia hết cho 4”
Tung đồng xu 1 lần.
a) Viết tập hợp A các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu.
b) Viết tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với biến cố B: “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N”. Mỗi phần tử của tập hợp đó gọi là một kết quả thuận lợi cho biến cố B.
c) Tìm tỉ số của số các kết quả thuận lợi cho biến cố B và số phần tử của tập hợp A.
a) Có 2 khả năng có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu là: Sấp (S) và Ngửa (N).
Vậy \(A = \left\{ {S;\,N} \right\}\).
b) Biến cố B: “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N”
Tập hợp M gồm các kết quả xó thể xảy ra đối với biến cố B là: \(M = \left\{ N \right\}\).
Phần tử N là kết quả thuận lợi cho biến cố B.
c) Số các kết quả thuận lợi của B là: 1
Số phần tử của tập hợp A là: 2
Tỉ số các kết quả thuận lợi cho biến cố B và phần tử của tập hợp A là: \(\frac{1}{2}\)
Gieo ngẫu nhiên xúc xắc một lần.
a) Xét biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là hợp số”. Nêu những kết quả thuận lợi cho biến cố trên.
b) Xét biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia 3 dư 1”. Nêu những kết quả thuận lợi cho biến cố trên.
c) Xét biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là ước của 4”. Nêu những kết quả thuận lợi cho biến cố trên.
Tập hợp A gồm các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc.
A = {mặt 1 chấm; mặt 2 chấm; mặt 3 chấm; mặt 4 chấm; mặt 5 chấm; mặt 6 chấm}
a) Trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có hai số là hợp số là: 4, 6.
Vậy có hai kết quả thuận lợi cho biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là hợp số” là: mặt 4 chấm, mặt 6 chấm (lấy ra từ tập hợp A = {mặt 1 chấm; mặt 2 chấm; mặt 3 chấm; mặt 4 chấm; mặt 5 chấm; mặt 6 chấm}).
b) Trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có hai số chia 3 dư 1 là: 1, 4.
Vậy có hai kết quả thuận lợi cho biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia 3 dư 1” là: mặt 1 chấm, mặt 4 chấm (lấy ra từ tập hợp A = {mặt 1 chấm; mặt 2 chấm; mặt 3 chấm; mặt 4 chấm; mặt 5 chấm; mặt 6 chấm}).
c) Trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có ba số là ước của 4 là: 1, 2, 4.
Vậy có ba kết quả thuận lợi cho biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là ước của 4” là: mặt 1 chấm, mặt 2 chấm, mặt 4 chấm (lấy ra từ tập hợp A = {mặt 1 chấm; mặt 2 chấm; mặt 3 chấm; mặt 4 chấm; mặt 5 chấm; mặt 6 chấm}).
Em hãy lấy ví dụ giúp người đọc hiểu được: a) Biến cố là gì? b) Kết quả thuận lợi là gì? c)Xác suất là gì? d)Số phần tử của tập hợp kết quả thuận lợi
a: giả sử omega là ko gian mẫu của phép thử T
Nếu \(A\subset\Omega\) thì A được gọi là biến cố của T
c: Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử T và phép thử T có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số n(A)/n(Ω) là xác suất của biến cố A