Đáp án C

Gọi P là trung điểm của AC.

Ta có:  P N / / C D , M P / / A B ⇒ A B ; C D = M P ; P N

P N = M P = a 2 , M N = a 3 2 ⇒ cos M P N ⏜ = − 1 2 ⇒ M P N ⏜ = 120 °

⇒ A B ; C D ⏜ = 60 °

Đáp án C

Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại P và vẽ đường thẳng song song với CD cắt BD tại Q. Ta có mp (MNPQ) song song với cả AB và CD. Từ đó

Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác (do M, N là các trung điểm) ta suy ra được MP = MQ = NP = a hay tứ giác MPNQ là hình thoi.

Tính được

Chọn C.

Ta có:  suy ra

Do đó

Đáp án C

Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại P và vẽ đường thẳng song song với CD cắt BD tại Q. Ta có mp (MNPQ) song song với cả AB và CD. Từ đó  ( A B , C D ^ ) = ( M P , M Q ^ ) = P M Q ^

Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác (do M, N là các trung điểm) ta suy ra được M P = M Q = N P = N Q = a  hay tứ giác MPNQ là hình thoi.

Đáp án B

Gọi E là trung điểm AC

Khi đó NE//AB suy ra A B ; M N ^ = N E ; M N ^  

Do đó [ E N M ^ = 30 ° E N M ^ = 150 °  

Lại có N E = A B 2 = a 2 ; M E = a 2  nên tam giác MNE cân tại E suy ra  E N M ^ = 30 ° ⇒ N E M ^ = 120 °

Suy ra M N = M E 2 + N E 2 - 2 M E . N E . cos N E M ^ = a 3 2 .

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SBI} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SCI} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBI} \right) \cap \left( {SCI} \right) = SI\end{array} \right\} \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\)

Kẻ \(IH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\)

\(SI \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SI \bot BC\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\)

Vậy \(\widehat {AHI}\) là góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\)\( \Rightarrow \widehat {AHI} = {60^ \circ }\)

\(\begin{array}{l}{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}\left( {AB + C{\rm{D}}} \right).A{\rm{D}} = 3{a^2}\\AI = I{\rm{D}} = \frac{1}{2}A{\rm{D}} = a\\{S_{AIB}} = \frac{1}{2}AB.AI = {a^2},{S_{CI{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}C{\rm{D}}.I{\rm{D}} = \frac{{{a^2}}}{2}\\ \Rightarrow {S_{BIC}} = {S_{ABC{\rm{D}}}} - {S_{AIB}} - {S_{CI{\rm{D}}}} = \frac{{3{a^2}}}{2}\end{array}\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BM = \frac{1}{2}AB = a,CM = AD = 2a \Rightarrow BC = \sqrt {B{M^2} + C{M^2}}  = a\sqrt 5 \\ \Rightarrow IH = \frac{{2{{\rm{S}}_{BIC}}}}{{BC}} = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow SI = IH.\tan \widehat {SHI} = \frac{{3a\sqrt {15} }}{5}\end{array}\)

\({V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}{S_{ABC{\rm{D}}}}.SI = \frac{{3{a^3}\sqrt {15} }}{5}\)